[论文解读] Critical configurations for three projective views

Martin Bråtelund|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2021

Medical Imaging Techniques and ApplicationsMedicine被引用 1

一句话总结

本文提出一种新颖的代数方法，通过分析相机中心的爆破（blow-ups）对多视图代数曲线的交点，对三投影视角结构从运动中的临界构型进行分类。研究证明，8个或更多点的临界构型恰好出现在这些点位于特定曲线或曲面的严格变换（strict transform）上时——例如扭曲三次曲线、有理四次曲线，或圆锥曲线与直线的并集；而7个点的构型则在涉及三个可展曲面及其允许直线的精确相容性条件下成为临界构型。

ABSTRACT

The problem of structure from motion is concerned with recovering the 3-dimensional structure of an object from a set of 2-dimensional images taken by unknown cameras. Generally, all information can be uniquely recovered if enough images and point correspondences are provided, yet there are certain cases where unique recovery is impossible; these are called critical configurations. We use an algebraic approach to study the critical configurations for three projective cameras. We show that all critical configurations lie on the intersection of quadric surfaces, and classify exactly which intersections constitute a critical configuration.

研究动机与目标

• 使用代数几何方法，对三投影相机的临界构型提供完整分类。
• 解决文献中此前被忽视的情况：当一条扭曲三次曲线与通过两个相机中心的弦线相交时，该构型可能为临界构型。
• 建立一个通用判别准则，用于识别临界构型，超越零散的特例，利用多视图代数曲线与爆破技术。
• 深化对结构从运动算法在临界构型附近不稳定性的理论理解。
• 为未来研究更复杂的相机构型提供可扩展的理论框架。

提出的方法

• 在相机中心处对 P³ 进行爆破，以消除相机投影的未定性，从而构造出态射（morphism）。
• 定义一个有理映射 ϕP: P³ ⇢ (P²)ⁿ，其在爆破空间 BlP(P³) 上延拓为一个态射，将构型映射至多视图代数曲线。
• 将临界构型定义为：两个不同的相机-点构型通过延拓后的态射映射到 (P²)ⁿ 中的同一点。
• 通过研究多视图代数曲线的交点，特别是三张可展曲面的交点，对临界构型进行分类。
• 应用代数几何技术，包括线丛与除子类（如 2H − Ei − Ej）的使用，以约束曲面的性质。
• 利用三张曲面与其关联的允许直线之间的相容性条件，判断7个点构型的临界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在三维空间中，哪些三投影相机与点的构型属于临界构型，即无法唯一恢复三维结构？
• RQ2 多视图代数曲线的交点如何与临界构型的存在性相关联？
• RQ3 在何种精确条件下，三相机下的7个点构型为临界构型？
• RQ4 此前被遗漏的情况——即一条扭曲三次曲线通过一个相机中心，且连接其余两个相机中心的直线是该扭曲三次曲线的弦线——是否可被证明为临界构型？
• RQ5 退化构型（如圆锥曲线与直线的并集）如何贡献于临界构型的形成？

主要发现

• 三投影相机的所有临界构型均位于三张可展曲面交线的严格变换上。
• 当一条扭曲三次曲线恰好通过一个相机中心，且连接其余两个相机中心的直线是该扭曲三次曲线的弦线时，该点构型为临界构型——此结论修正了文献中此前存在的错误。
• 对于8个或更多点，构型为临界构型当且仅当这些点位于图1所示的某种变体的严格变换上（例如有理四次曲线、扭曲三次曲线，或圆锥曲线与直线的并集），或构成此类变体的子集。
• 对于6个或更少的点，所有构型均为临界构型，但非极大，因为它们均包含于至少7个点的更大临界构型中。
• 7个点的构型为临界构型当且仅当存在一个相容的三张曲面组合，包含所有相机中心与点，且由允许直线所张成的三个平面不与任意一个7个点中的点相交。
• 三张曲面的相容性以及其关联平面交线的几何条件，完全决定了7个点构型的临界性，如命题6.19所形式化表述。