[论文解读] Critical ideals of trees

Hugo Corrales, Carlos E. Valencia|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2015

Graph theory and applications参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文通過在每個頂點添加迴圈後得到的圖中的最小2-匹配，提供了樹的臨界理想的一種組合特徵化。證明了樹的代數余秩等於其2-匹配數，並表明臨界群的不變因子可透過這些匹配對應的多項式最大公因數計算得出，從而恢復了正則樹的已知結果，並識別出路徑圖是唯一具有平凡臨界理想的圖形。

ABSTRACT

Given a graph $G=(V, E)$, its generalized Laplacian matrix is given by \[ L(G,X_G)_{u,v}= \begin{cases} x_u& ext{if }u=v,\\ -m_{uv}& ext{if }u eq v, \end{cases} \] where $X_G=\{x_u\, | \, u\in V(G)\}$ is a set of indeterminates and $m_{uv}$ is the number of edges between $u$ and $v$. The $j$-critical ideal of $G$ is the determinantal ideal generated by the minors of size $j$ of $L(G, X)$. A $2$-matching of $G$ is a subset $\mathcal{M}$ of its edges such that every vertex of $G$ has at most two incident edges in $\mathcal{M}$. We give a combinatorial description of a set of generators of the $j$-critical ideal of a tree $T$ as a function of a set of special $2$-matchings, which we called minimal, of the graph $T^\ell$ obtained from $T$ by adding a loop at each of its vertices. Also, we prove that the algebraic co-rank of $T$ is equal to the $2$-matching number of $T$, the maximum number of edges of a $2$-matching of $T$. As a consequence, one can compute each invariant factor of the critical group of any graph $G$ such that $G\setminus v$ is a tree for some of its vertices $v$, as the greatest common divisor of the evaluation of some polynomials associated to the minimal $2$-matchings of $T^\ell$. For instance, in the regular case, we recover some of the results obtained by Levine and Toumpakari about the critical group of a wired regular tree. Additionally, we can prove that the path $P_n$ is the unique simple graph with $n$ vertices and $n-1$ trivial critical ideals. We conjecture that the set of generators that we give is a reduced Gröbner basis and we can prove this for the $|V(T)|-1$-critical ideal. Finally, we apply the result in order to calculate the critical ideals of trees with depth two and some arithmetical trees associated to the reduction of elliptic curves of Kodaira type $I_n^*$.

研究动机与目标

• 提供樹 T 的第 j 個臨界理想的組合描述，使用 T^ℓ（即在每個頂點添加迴圈的樹）中的2-匹配。
• 建立樹的代數余秩等於其2-匹配數（即2-匹配的最大邊數）的關係。
• 透過最小2-匹配對應的多項式評估，實現對其頂點刪除子圖為樹的圖形之臨界群不變因子的計算。
• 猜想由最小2-匹配導出的生成元構成簡約Gröbner基，並證明此猜想對 (n−1)-臨界理想成立。
• 將該框架應用於計算深度為二的樹及與Kodaira型 I_n^* 橢圓曲線還原相關的算術圖的臨界理想。

提出的方法

• 定義廣義拉普拉斯矩陣 L(G,X_G)，其中對角線元素為不定元 x_u，非對角線元素為負的邊重數。
• 引入第 j 個臨界理想 I_j(T,X_T) 為 L(T,X_T) 的所有 j×j 子式的理想。
• 建立 T^ℓ（即帶迴圈的樹）中最小2-匹配與 L(T,X_T) 的特定子式 d(ℳ,X) 之間的對應關係。
• 利用2-匹配的組合性質，證明這些子式集合對每個 j 生成 I_j(T,X_T)。
• 透過這些子式在度向量上的評估，利用最大公因數計算臨界群的不變因子。
• 將該框架應用於計算深度為二的樹及與Kodaira型 I_n^* 減少相關的算術圖的臨界理想。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用樹的帶迴圈版本中的2-匹配，組合地描述樹的臨界理想？
• RQ2 樹的代數余秩與其2-匹配數之間的關係為何？
• RQ3 對於其頂點刪除子圖為樹的圖形 G，能否透過最小2-匹配對應多項式的最大公因數計算其臨界群的不變因子？
• RQ4 與最小2-匹配相關的子式集合是否構成樹的第 j 個臨界理想的簡約Gröbner基？
• RQ5 由Kodaira型 I_n^* 橢圓曲線還原產生的算術圖的臨界理想為何？

主要发现

• 樹 T 的第 j 個臨界理想由 T^ℓ 中大小為 j 的最小2-匹配 ℳ 對應的子式 d(ℳ,X) 生成。
• 樹 T 的代數余秩等於其2-匹配數，即2-匹配中最大邊數。
• 對於路徑圖 P_n，所有 j < n 的臨界理想均為平凡，且 I_{n-1}(P_n,X) = ⟨1⟩，因此 P_n 是唯一具有 n 個頂點且臨界理想平凡的簡單圖形。
• 對於其頂點刪除子圖為樹的圖形 G，其臨界群的不變因子可計算為 T^ℓ 中最小2-匹配對應多項式評估的最大公因數。
• 對於算術圖 (C_{5,m}, d_{5,m}, r_{5,m})，當 m 為偶數時臨界群為 ℤ₂²，當 m 為奇數時為 ℤ₄，取決於 m 的奇偶性。
• 樹的 (n−1)-臨界理想可由大小為 n−1 的最小2-匹配對應子式構成的簡約Gröbner基實現。