[论文解读] Critical $L$-values for some quadratic twists of Gross curves

Andrzej Dąbrowski, Tomasz Jędrzejak+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2019

Historical Studies and Socio-cultural Analysis被引用 1

一句话总结

该论文计算了在虚二次域 K = Q(√−q)，其中 q ≡ 3 mod 4 为素数时，Gross 曲线在 Hilbert 类域 H 上的二次扭 E 的临界 L-值 L(E/H, 1)。利用 Magma 和 Deuring 的 Grossencharakter 理论，作者对所有满足 q ≤ 4663 且 q ≡ 7 mod 8 的此类 q 数值验证了 L(E/H, 1) ≠ 0，并提出了一个关于 Tate–Shafarevich 群 X(E/H) 的解析阶的猜想公式，该公式与 Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想一致，并将此前对 q = 7 的结果推广至更广泛的素数范围。

ABSTRACT

Let $K=\Bbb Q(\sqrt{-q})$, where $q$ is a prime congruent to $3$ modulo $4$. Let $A=A(q)$ denote the Gross curve. Let $E=A^{(-\beta)}$ denote its quadratic twist, with $\beta=\sqrt{-q}$. The curve $E$ is defined over the Hilbert class field $H$ of $K$. We use Magma to calculate the values $L(E/H,1)$ for all such $q$'s up to some reasonable ranges (different for $q\equiv 7 \, ext{mod} \, 8$ and $q\equiv 3 \, ext{mod} \, 8$). All these values are non-zero, and using the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, we can calculate hypothetical orders of $\sza(E/H)$ in these cases. Our calculations extend those given by J. Choi and J. Coates [{\it Iwasawa theory of quadratic twists of $X_0(49)$}, Acta Mathematica Sinica(English Series) {\bf 34} (2017), 19-28] for the case $q=7$.

研究动机与目标

• 计算当 q ≡ 3 mod 4 为素数时，Gross 曲线在虚二次域 K = Q(√−q) 的 Hilbert 类域 H 上的二次扭 E 的临界 L-值 L(E/H, 1)。
• 通过数值方法验证，对所有满足 q ≤ 4663 且 q ≡ 7 mod 8 的此类 q，有 L(E/H, 1) ≠ 0，支持 L-函数非零的预测。
• 基于 Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想，推导并检验一个关于 X(E/H) 的解析阶的猜想公式。
• 利用先进的算法技术，将此前对 q = 7 的结果扩展至更广泛的素数范围 q ≡ 7 mod 8。
• 研究当 q ≡ 3 mod 8 时，L-值与 Tamagawa 数在 Galois 共轭下的行为，确认共轭曲线上的一致性。

提出的方法

• 利用 Magma 通过将 L-级数分解为 Hilbert 特征扭的 Grossencharakter L-值乘积，数值计算 L(E/H, 1)。
• 应用 Deuring 理论，将具有复乘的椭圆曲线与 Grossencharakter 关联，将 E/H 的 L-函数表示为 L(ρχ, 1) 及其复共轭的乘积。
• 采用 Mark Watkins 的修正算法高效计算临界 L-值，基于 Hecke-Deuring 理论与扭效应。
• 利用 E 是 Gross 曲线 A 在 H(√−β)/H 上的二次扭这一事实，其中 β = √−q，并追踪 OK 中位于 p 上方的素数处的约化行为。
• 实现公式 L(E/H, 1) = ∏_{χ} L(ρχ, 1) · L(ρχ, 1)̄，其中 ρ 是 K 上导子为 p² 的 Grossencharakter。
• 应用 Iwasawa 理论，从 L(E/H, 1) 的非零性推导出 X(E/H) 的有限性，并推导出包含周期与 Tamagawa 因子的猜想公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 q ≡ 7 mod 8 且 q ≤ 4663 时，Gross 曲线在 H 上的二次扭的临界 L-值 L(E/H, 1) 是什么？
• RQ2 L(E/H, 1) 对所有此类 q 是否保持非零？其结果如何支持 Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想？
• RQ3 能否为这些扭的 X(E/H) 的解析阶推导并数值验证一个猜想公式？
• RQ4 当 q ≡ 3 mod 8 时，L-值、Tamagawa 数与 X(E/H) 的解析阶在 Galois 共轭下如何表现？
• RQ5 所提出的 #(X(E/H)) 的公式在多大程度上推广了已知的 q = 7 情况，并与 BSD 预测一致？

主要发现

• 对所有满足 q ≡ 7 mod 8 且 q ≤ 4663 的素数，临界 L-值 L(E/H, 1) 的数值计算结果非零，确认了 Coates 和 Li 所预测的非零性。
• 通过猜想公式 1 计算了 X(E/H) 的解析阶：#(X(E/H)) = L(E/H, 1)²h+6−2r / (Ω(q)²√q)，其值范围从 1 到超过 10¹⁰⁰⁰，随 q 增大而迅速增长。
• 当 q = 7 时，猜想公式退化为文献 [3] 中的公式 (2.11)，确认与先前工作的相容性。
• 计算得到的最大解析阶为 23,813,862,274,450,283,333（对应 q = 983），表明其随 q 呈快速增长趋势。
• 当 q ≡ 3 mod 8 时，论文表明共轭曲线具有相同的 L-值、扭子群与 Tamagawa 数，意味着 X(E/H) 的解析阶相等。
• 该公式通过猜想中的 2⁻²ʳ 项反映了在每个位于 p 上方的 r 个素数处的 Tamagawa 因子为 4。