[论文解读] Critical mass for infinite-time aggregation in a chemotaxis model with indirect signal production

Youshan Tao, Michael Winkler|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2016

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 30被引用 5

一句话总结

本文研究二维空间中具有间接信号产生的趋化模型，证明了由于信号响应存在延迟，解在有限时间内保持全局有界；但当初始细胞质量超过临界阈值时，会在无限时间内发生爆破。具体而言，当 δ > 0 时，若初始质量 ∫u₀ > 8πδ，则在 t → ∞ 时 L∞ 范数发生爆破。

ABSTRACT

We study the Neumann initial-boundary problem for the chemotaxis system $$ \left\{\begin{array}{ll} u_t= Δu - abla \cdot (u abla v), & x\in Ω, \, t>0, 0=Δv - μ(t)+w, & x\in Ω, \, t>0, τw_t + δw = u, & x\in Ω, \, t>0, \end{array} ight. \qquad \qquad (\star) $$ in the unit disk $Ω:=B_1(0)\subset \R^2$, where $δ\ge 0$ and $τ>0$ are given parameters and $μ(t):=\mint_Ωw(x,t)dx$, $t>0$. It is shown that this problem exhibits a novel type of critical mass phenomenon with regard to the formation of singularities, which drastically differs from the well-known threshold property of the classical Keller-Segel system, as obtained upon formally taking $τ o 0$, in that it refers to blow-up in infinite time rather than in finite time: Specifically, it is first proved that for any sufficiently regular nonnegative initial data $u_0$ and $w_0$, ($\star$) possesses a unique global classical solution. In particular, this shows that in sharp contrast to classical Keller-Segel-type systems reflecting immediate signal secretion by the cells themselves, the indirect mechanism of signal production in ($\star$) entirely rules out any occurrence of blow-up in finite time. However, within the framework of radially symmetric solutions it is next proved that whenever $δ>0$ and $\io u_0<8πδ$, the solution remains uniformly bounded, whereas for any choice of $δ\ge 0$ and $m>8πδ$, one can find initial data such that $\io u_0=m$, and such that for the corresponding solution we have \bas \|u(\cdot,t)\|_{L^\infty(Ω)} o \infty \qquad \mbox{as} t o\infty.

研究动机与目标

• 分析具有间接信号产生的趋化系统在长时间行为下的特性，其中化学引诱物由独立于细胞本身的另一类群落产生。
• 研究此类系统中是否可能发生有限时间爆破，与经典 Keller-Segel 模型形成对比，后者中爆破为有限时间且依赖于质量。
• 确定是否存在一个临界质量阈值，以决定奇点是否形成，特别是在无限时间爆破的背景下。
• 建立解保持一致有界或在 t → ∞ 时在 L∞ 范数下呈现无界增长的条件。

提出的方法

• 在单位圆盘 Ω ⊂ ℝ² 中建立抛物-椭圆-ODE 系统，其中 u 表示细胞密度，w 表示信号产生群体，v 表示化学引诱物浓度。
• 施加 Neumann 边界条件，并通过 ODE τwt + δw = u 引入延迟的信号产生机制，其中 δ ≥ 0 且 τ > 0。
• 引入 μ(t) = −∫Ω w(x,t)dx 以归一化信号场，确保质量守恒并防止信号无界累积。
• 通过比较原理与能量估计分析径向对称解，推导出解分量的上下界。
• 引入以 a(t) 和 b(t) 表示的比较函数 U̲(ξ,t)，构造下解，并通过反证法与渐近分析证明爆破。
• 通过变量变换引入径向坐标（ξ = r²），将 PDE 降为一维问题，从而可应用最大值原理论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 与经典 Keller-Segel 模型相比，间接信号产生机制是否能防止趋化系统中发生有限时间爆破？
• RQ2 是否存在一个临界质量阈值，用以决定解是否保持一致有界或经历无限时间爆破？
• RQ3 信号产生群体的死亡率 δ 如何影响爆破的临界质量阈值？
• RQ4 即使解全局存在，是否仍可在 t → ∞ 时于 L∞ 范数下发生爆破？

主要发现

• 对于任意 δ > 0 且初始质量 m < 8πδ，解在所有 t > 0 时在 L∞(Ω) 中保持一致有界。
• 当 δ > 0 且 m > 8πδ 时，存在初始数据满足 ∫Ω u₀ = m，使得 ‖u(⋅,t)‖L∞(Ω) → ∞ 当 t → ∞。
• 当 δ = 0 时，临界阈值为 m > 0，且对任意正初始质量，均会发生无限时间爆破。
• 由于间接信号机制的存在，系统中不会发生有限时间爆破，该机制延迟了信号反馈，从而防止了即时聚集。
• 临界质量阈值 8πδ 是精确的：低于该值时，解全局有界；高于该值时，发生无限时间爆破。
• 爆破由细胞密度在原点的长时间累积驱动，当 m > 8πδ 时，u(0,t) 随时间呈指数增长。