[论文解读] Critical Points and Gr\"obner Bases: the Unmixed Case

Jean‐Charles Faugère, Mohab Safey El Din+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2012

Polynomial and algebraic computation参考文献 19被引用 19

一句话总结

本文首次对定义在代数簇上的多项式映射的临界点系统计算格罗布纳基的复杂度进行了分析。在一般性假设下，复杂度关于临界点数量为多项式，其数量为 D^p(D−1)^{n−p} \binom{n−1}{p−1}，并给出了显式界，表明在二次情形（D=2）下，复杂度在 n 上为多项式，在 p 上为指数级。

ABSTRACT

We consider the problem of computing critical points of the restriction of a polynomial map to an algebraic variety. This is of first importance since the global minimum of such a map is reached at a critical point. Thus, these points appear naturally in non-convex polynomial optimization which occurs in a wide range of scientific applications (control theory, chemistry, economics,...). Critical points also play a central role in recent algorithms ofeffectiverealalgebraicgeometry. Experimentally, it has been observed that Gröbner basis algorithms are efficient to compute such points. Therefore, recent software based on the so-called Critical Point Method are built on Gröbner bases engines. Let f1,...,fp be polynomials in Q[x1,...,xn] of degree D, V ⊂ C n be their complex variety and π1 be the projection map (x1,...,xn) ↦ → x1. Thecriticalpointsoftherestrictionofπ1to V are defined by the vanishing of f1,...,fp and some maximal minors of the Jacobian matrix associated to f1,...,fp. Suchasystemisalgebraicallystructured:theidealitgenerates is the sum of a determinantal ideal and the ideal generated by f1,...,fp. We provide the first complexity estimates on the computation of Gröbner bases of such systems defining critical points. We prove that under genericity assumptions on f1,...,fp, thecomplexityis polynomial in the generic number of critical points, i.e. D p (D − 1) n−p () n−1.Moreparticularly,inthe p−1 quadratic case D =2,thecomplexityofsuchaGröbnerbasiscomputationispolynomial in the number of variables n and exponential in p. We also give experimental evidence supporting these theoretical results.

研究动机与目标

• 分析定义在代数簇上多项式映射的临界点系统的格罗布纳基算法的计算复杂度。
• 为非凸多项式优化中临界点的计算建立理论复杂度界，这是科学计算中的关键问题。
• 通过提供形式化的复杂度估计，解释基于临界点法的软件中格罗布纳基方法的实验效率。
• 研究临界点方程所生成的理想结构，表明其为一个行列式理想与簇的理想之和。
• 提供关于一般临界点数量为多项式复杂度的复杂度估计，特别是在二次情形（D=2）下。

提出的方法

• 将临界点建模为多项式 f1,…,fp 的零点与它们的雅可比矩阵最大子式的零点相结合的系统解。
• 将临界点的定义理想表征为理想 〈f1,…,fp〉 与来自雅可比子式行列式理想之和。
• 应用代数几何技术，在一般性假设下分析该组合理想结构。
• 利用格罗布纳基理论估计求解该结构化系统的计算复杂度。
• 在一般条件下，以临界点数量 D^p(D−1)^{n−p} \binom{n−1}{p−1} 为基准推导复杂度界。
• 通过在合成和基准多项式系统上的实验结果验证理论发现。

实验结果

研究问题

• RQ1 在代数簇上，计算定义临界点的多项式映射系统的格罗布纳基的计算复杂度是多少？
• RQ2 复杂度如何随变量数 n 和多项式数 p 变化，特别是在二次情形（D=2）下？
• RQ3 临界点理想（即行列式理想与簇理想之和）的代数结构能否被利用以推导更紧致的复杂度界？
• RQ4 在何种一般性假设下，复杂度能保持在临界点数量的多项式范围内？
• RQ5 理论复杂度估计在多大程度上与临界点系统格罗布纳基计算中的实际性能一致？

主要发现

• 计算临界点系统格罗布纳基的复杂度关于一般临界点数量为多项式，其数量为 D^p(D−1)^{n−p} \binom{n−1}{p−1}。
• 在二次情形（D=2）下，复杂度在变量数 n 上为多项式，在 p 上为指数级，与观测到的计算行为一致。
• 定义临界点的理想是簇理想 〈f1,…,fp〉 与来自雅可比子式行列式理想之和。
• 实验结果在基准系统上支持了理论复杂度界，验证了渐近估计的正确性。
• 本研究为基于临界点法的软件中格罗布纳基引擎的高效性提供了形式化基础。
• 分析表明，在一般性条件下，即使在非凸优化设置中，临界点的格罗布纳基计算也是可处理的。