[论文解读] Critical points of solutions for mean curvature equation in strictly convex and nonconvex domains

Haiyun Deng, Hairong Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文研究了在 $ \mathbb{R}^n$  中的严格凸域与非凸域（$n \geq 2$）上，带零狄利克雷边界条件的平均曲率方程解的临界点。证明了在光滑有界严格凸域中，存在且仅存在一个非退化的临界点。在旋转对称的偏心球形环形域中（$n \geq 3$），临界集由轴上的有限个孤立点以及有限条旋转对称的若尔当闭曲线构成，但不存在旋转对称的临界闭曲面。

ABSTRACT

In this paper, we mainly investigate the set of critical points associated to solutions of mean curvature equation with zero Dirichlet boundary condition in a strictly convex domain and a nonconvex domain respectively. Firstly, we deduce that mean curvature equation has exactly one nondegenerate critical point in a smooth, bounded and strictly convex domain of $\mathbb{R}^{n}(n\geq2)$. Secondly, we study the geometric structure about the critical set $K$ of solutions $u$ for the constant mean curvature equation in a concentric (respectively an eccentric) spherical annulus domain of $\mathbb{R}^{n}(n\geq3)$, and deduce that $K$ exists (respectively does not exist) a rotationally symmetric critical closed surface $S$. In fact, in an eccentric spherical annulus domain, $K$ is made up of finitely many isolated critical points ($p_1,p_2,\cdots,p_l$) on an axis and finitely many rotationally symmetric critical Jordan curves ($C_1,C_2,\cdots,C_k$) with respect to an axis.

研究动机与目标

• 分析严格凸域与非凸域中平均曲率方程解的临界集。
• 确定在偏心球形环形域中旋转对称临界曲面的存在性与几何结构。
• 将关于凸域中临界点的已知结果推广至高维中非凸且旋转对称的域。
• 建立临界集包含孤立点或闭曲线的条件，并排除某些对称临界曲面的存在。

提出的方法

• 以平均曲率算子 $ Lu = \text{div}\left(\frac{\nabla u}{\sqrt{1 + |\nabla u|^2}}\right) $ 作为控制偏微分方程。
• 通过在环形域中假设绕 $x_n$-轴的旋转不变性，实施对称性约化。
• 运用几何分析与基于临界集在平面投影中拓扑性质的反证法。
• 依赖于平面非凸域中临界集的已知结果（例如，Alessandrini 与 Magnanini 的研究）以导出矛盾。
• 利用临界集包围单连通区域或内部边界会与有限个孤立临界点的已知引理相矛盾的事实。
• 应用最大值原理及对称域中拟线性椭圆方程解的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ \mathbb{R}^n$  中的光滑有界严格凸域（$n \geq 2$）中，带零狄利克雷条件的平均曲率方程是否具有唯一非退化的临界点？
• RQ2 在 $ \mathbb{R}^n$  中的旋转对称偏心球形环形域（$n \geq 3$）中，临界集是否包含旋转对称的闭曲面？
• RQ3 在非凸环形域中，常平均曲率方程解的临界集 $K$ 的几何结构如何？
• RQ4 临界点与曲线在偏心环形域中如何分布，特别是相对于对称轴？
• RQ5 非凸域中的临界集是否可由有限个孤立点与有限条旋转对称的若尔当闭曲线构成？

主要发现

• 在 $ \mathbb{R}^n$  中的光滑有界严格凸域（$n \geq 2$）中，带零狄利克雷边界条件的平均曲率方程恰有一个非退化临界点。
• 在 $ \mathbb{R}^n$  中的旋转对称同心球形环形域（$n \geq 3$）中，临界集 $K$ 包含一个旋转对称的临界闭曲面。
• 在 $ \mathbb{R}^n$  中的旋转对称偏心球形环形域（$n \geq 3$）中，临界集 $K$ 不包含任何旋转对称的临界闭曲面。
• 在偏心球形环形域中，临界集 $K$ 由轴上的有限个孤立临界点以及有限条旋转对称的临界若尔当闭曲线构成。
• 偏心环形域中 $K$ 的几何结构受拓扑限制：由于与有限孤立临界点性质矛盾，其不能包围单连通子区域或内部边界。
• 结果可推广至满足类似对称性与结构假设的一般拟线性椭圆方程，保持相同的临界集结构。