[论文解读] Critical Q=1 Potts Model and Temperley-Lieb Stochastic Processes

Paul A. Pearce, V. Rittenberg+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2001

Quantum many-body systems参考文献 2被引用 23

一句话总结

本文建立了临界 Q=1 Potts 模型与 Temperley-Lieb 代数上的随机过程之间的联系，表明在 q = exp(πi/3) 时，U_q[sl(2)] XXZ 自旋链的基态波函数描述了具有非局部跃迁速率的一维随机界面生长模型的平稳概率分布。关键结果是，这些随机过程的谱与临界 Q=1 Potts 模型的谱一致，展现出 c=0 的共形不变性以及通过 Jordan 块表示体现的对数共形场论结构。

ABSTRACT

We consider the groundstate wave function and spectra of the $L$-site XXZ $U_q[s\ell(2)]$ invariant quantum spin chain with $q=\exp(πi/3)$. This chain is related to the critical Q=1 Potts model and exhibits $c=0$ conformal invariance. We show that the problem is related to Hamiltonians describing one-dimensional stochastic processes defined on a Temperley-Lieb algebra. The bra groundstate wave function is trivial and the ket groundstate wave function gives the probabilty distribution of the stationary state. The stochastic processes can be understood as interface RSOS growth models with nonlocal rates. Allowing defects which can hop on the interface one obtains stochastic models having the same stationary state and spectra (but not degeracies) as the XXZ chain.

研究动机与目标

• 建立临界 Q=1 Potts 模型与定义在 Temperley-Lieb 代数上的随机过程之间的对应关系。
• 证明在 q = exp(πi/3) 时，U_q[sl(2)] XXZ 链的基态波函数对应于一个随机界面生长模型的平稳态。
• 证明这些随机过程的谱与具有 c=0 和对数结构的共形场论一致。
• 将量子自旋链中交替符号矩阵 (ASM) 数字的出现与随机过程中的可观测量联系起来。

提出的方法

• 使用 q = exp(πi/3) 时 Temperley-Lieb 代数的生成元定义 XXZ 哈密顿量，对应于 Δ = 1/2 和 Q = 1。
• 基态能量为零，且态矢量基态波函数给出了随机过程的平稳概率分布。
• 该随机模型被解释为一种具有跃迁缺陷的非局部界面 RSOS 生长模型，其缺陷保持平稳态和谱不变。
• 使用有限尺寸标度分析平稳态中的平均周长、面积和簇数。
• 利用 Van den Broeck-Schwartz 近似法对 L=16 以内的能级进行数值分析，以提取共形权重和中心电荷。
• 证明谱与 c=0 对数共形场论的特征标一致，其共形权重为 Δ_s = s(2s−1)/3，模参数为 q。

实验结果

研究问题

• RQ1 临界 Q=1 Potts 模型的基态波函数与 Temperley-Lieb 代数上随机过程的平稳态之间有何关系？
• RQ2 由 q = exp(πi/3) 时 XXZ 链导出的随机过程谱所支配的共形场论的本质是什么？
• RQ3 量子自旋链中交替符号矩阵 (ASMs) 的组合性质如何与随机模型中的可观测量相关联？
• RQ4 平稳态中几何可观测量（如周长、面积和簇数）的有限尺寸标度行为如何？
• RQ5 随机哈密顿量的谱是否表现出对数共形场论结构？如果是，这在能级修正中如何体现？

主要发现

• 随机过程的平稳态概率分布由 q = exp(πi/3) 时 XXZ 链的态矢量基态波函数给出。
• 对 L ≤ 18 的有限尺寸标度分析得到的标度指数为：⟨ℓ(a)⟩ ∼ 0.249(1)L，⟨N(a)⟩ ∼ 0.065(1)L^{1+ν}，其中 ν = 0.50(3)，且 ⟨C(a)⟩ ∼ 1.17(1)L^x，x = 0.667(3)。
• 对 L=16 的能级进行数值估计，结果与共形权重 Δ_s = s(2s−1)/3 及 c=0 对数共形场论的特征标 χ_s(q) 一致。
• 随机哈密顿量 H 的谱与中心电荷 c=0 和共形权重 Δ_s = s(2s−1)/3（s = 0, 1/2, 1, ...）的共形场论一致，有限尺寸修正形式为 LE_n/πv = Δ_s + k_n + o(1)。
• 由于 q 是单位根，其表示中表现出 Jordan 块结构，这是对数共形场论的特征。
• 具有跃迁缺陷的随机模型也得到相同的谱（但简并度不同），证实了平稳态和谱结构的普遍性。