[论文解读] Critical Sobolev, Gagliardo-Nirenberg, Trudinger and Brezis-Gallouet-Wainger inequalities, best constants, and ground states on graded groups

Michael Ruzhansky, Nurgissa Yessirkegenov|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations被引用 4

一句话总结

该论文在分次群（包括 $\mathbb{R}^n$、海森堡群及一般分次李群）上建立了关键的索博列夫型不等式——加利亚尔多-尼伦伯格、特鲁迪纳以及布雷齐斯-加洛埃特-瓦伊纳不等式，通过变分形式推导出最佳常数，并将其与次椭圆方程的基态解联系起来。此外，该研究进一步应用临界加利亚尔多-尼伦伯格不等式，证明了在这些群上非线性薛定谔型方程存在最小能量解。

ABSTRACT

In this paper we investigate critical Gagliardo-Nirenberg, Trudinger-type and Brezis-Gallouet-Wainger inequalities associated with the positive Rockland operators on graded groups, which includes the cases of $\mathbb R^n$, Heisenberg, and general stratified Lie groups. As an application, using the critical Gagliardo-Nirenberg inequality the existence of least energy solutions of nonlinear Schr\odinger type equations is obtained. We also express the best constant in the critical Gagliardo-Nirenberg and Trudinger inequalities in the variational form as well as in terms of the ground state solutions of the corresponding nonlinear subelliptic equations. The obtained results are already new in the setting of general stratified groups (homogeneous Carnot groups). Among new technical methods, we also extend Folland's analysis of H\older spaces from stratified groups to general homogeneous groups.

研究动机与目标

• 将关键的索博列夫型不等式——加利亚尔多-尼伦伯格、特鲁迪纳及布雷齐斯-加洛埃特-瓦伊纳不等式——推广至分次群（包括 $\mathbb{R}^n$、海森堡群及一般分次李群）的设定。
• 以变分形式表达临界加利亚尔多-尼伦伯格与特鲁迪纳不等式中的最佳常数，并将其与相应非线性次椭圆方程的基态解联系起来。
• 利用临界加利亚尔多-尼伦伯格不等式，证明非线性薛定谔型方程在分次群上存在最小能量解。
• 将福尔兰德的霍尔德空间分析从分次群推广至一般齐次群，从而为次椭圆算子的分析提供新的技术工具。

提出的方法

• 利用分次群的结构及正的洛克兰算子，推导临界指数情形下的精确不等式。
• 应用变分方法，将临界加利亚尔多-尼伦伯格与特鲁迪纳不等式中的最佳常数表示为相关能量泛函的极小化器。
• 依赖于最佳常数与非线性次椭圆方程基态解之间的联系，特别是涉及分次群上次拉普拉斯算子的方程。
• 将福尔兰德关于霍尔德空间的理论从分次李群推广至一般齐次群，从而实现对解的正则性估计的精细化。
• 运用尺度变换与齐次范数，分析分次群上索博列夫空间的临界嵌入性质。
• 将推导出的不等式应用于非线性薛定谔型方程，通过能量空间中的极小化方法证明最小能量解的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在分次群上，临界加利亚尔多-尼伦伯格与特鲁迪纳不等式中的最佳常数是什么？如何以变分形式对其进行表征？
• RQ2 这些不等式中的最佳常数与相应非线性次椭圆方程基态解之间存在何种关系？
• RQ3 临界加利亚尔多-尼伦伯格不等式能否用于证明在分次群上非线性薛定谔型方程存在最小能量解？
• RQ4 福尔兰德的霍尔德空间理论在多大程度上可从分次群推广至一般齐次群？
• RQ5 分次群上的布雷齐斯-加洛埃特-瓦伊纳不等式的确切形式是什么？它们与其它关键不等式之间有何关联？

主要发现

• 在分次群上，临界加利亚尔多-尼伦伯格不等式中的最佳常数被表征为在齐次索博列夫空间中所有非平凡函数上能量泛函的下确界。
• 临界特鲁迪纳不等式中的最佳常数以变分形式表达，并与涉及次拉普拉斯算子的非线性次椭圆方程的基态解相关联。
• 通过临界加利亚尔多-尼伦伯格不等式，证明了非线性薛定谔型方程存在最小能量解，为这些方程在分次群上的变分框架提供了理论支持。
• 该论文将福尔兰德对霍尔德空间的分析从分次群推广至一般齐次群，从而为次椭圆方程解的正则性估计提供了新工具。
• 在分次群上导出了临界布雷齐斯-加洛埃特-瓦伊纳不等式，推广了在 $\mathbb{R}^n$ 和海森堡群上的已知结果。
• 在一般分次群（即齐次卡诺群）的设定下，这些结果是全新的且最优的，首次在该背景下完整表征了这些关键不等式中的最佳常数。