[论文解读] Critical thickness of an optimum extended surface characterized by uniform heat transfer coefficient

Theodoros Leontiou, Marios M. Fyrillas|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2015

Heat Transfer and Optimization参考文献 34被引用 5

一句话总结

本文通过边界元法和广义施瓦茨-克里斯托弗映射，研究了在均匀对流换热条件下二维周期性通道中扩展表面（鳍片）的最优形状，解决了逆向设计问题。研究发现，最优鳍片无限薄，并确定了一个临界毕渥数（Bi_c ≈ 16.4），当 Bi × 厚度 < 1.64 时，鳍片才能增强换热，且该条件与鳍片长度或基底厚度无关。

ABSTRACT

We consider the heat transfer problem associated with a periodic array of extended surfaces (fins) subjected to convection heat transfer with a uniform heat transfer coefficient. Our analysis differs from the classical approach as (i) we consider two-dimensional heat conduction and (ii) the base of the fin is included in the heat transfer process. The problem is modeled as an arbitrary two-dimensional channel whose upper surface is flat and isothermal, while the lower surface has a periodic array of extensions/fins which are subjected to heat convection with a uniform heat transfer coefficient. Using the generalized Schwarz-Christoffel transformation the domain is mapped onto a straight channel where the heat conduction problem is solved using the boundary element method. The boundary element solution is subsequently used to pose a shape optimization problem, i.e. an inverse problem, where the objective function is the normalized Shape Factor and the variables of the optimization are the parameters of the Schwarz-Christoffel transformation. Numerical optimization suggests that the optimum fin is infinitely thin and that there exists a critical Biot number that characterizes whether the addition of the fin would result in an enhancement of heat transfer. The existence of a critical Biot number was investigated for the case of rectangular fins. {\bf It is concluded that a rectangular fin is effective if its thickness is less than} $1.64 k/h$, where the $h$ is the heat transfer coefficient and $k$ is the thermal conductivity. This result is independent of both the thickness of the base and the length of the fin.

研究动机与目标

• 确定在具有均匀对流换热的二维周期性通道中，能最大化换热的最优鳍片几何形状。
• 通过识别临界毕渥数阈值，解决在等温条件下鳍片可能降低换热的悖论。
• 研究矩形鳍片的效率如何随毕渥数和鳍片厚度变化。
• 将形状优化问题表述并求解为一个逆向设计任务，采用边界元法和复变函数变换。
• 建立一个与鳍片长度和基底厚度无关的无量纲鳍片效率准则。

提出的方法

• 在上表面为等温、下表面具有周期性鳍片的周期性通道中，建立二维导热问题模型。
• 应用广义施瓦茨-克里斯托弗映射，将复杂的鳍片几何形状映射到直线通道，以提高解析可处理性。
• 在变换后的域中，使用边界元法求解稳态导热的拉普拉斯方程。
• 将形状优化表述为非线性规划问题，目标为最大化归一化形状因子。
• 通过广义施瓦茨-克里斯托弗映射的参数对鳍片几何进行参数化，以实现数值优化。
• 通过有限差分和有限元模拟对部分情况进行验证，特别是矩形鳍片。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，在换热表面上添加鳍片会增强整体换热速率？
• RQ2 当基底参与换热过程时，在具有均匀对流的二维周期性通道中，鳍片的最优形状是什么？
• RQ3 矩形鳍片的效率是否依赖于其长度或基底厚度，还是存在一个普适的厚度准则？
• RQ4 决定鳍片是否增强或降低换热的临界毕渥数是多少？
• RQ5 鳍片效率如何随毕渥数变化，其最大可能效率是多少？

主要发现

• 在最大换热条件下，最优鳍片形状为无限薄，表明在均匀换热系数条件下应尽可能减小鳍片厚度。
• 存在一个临界毕渥数，使得只有当毕渥数低于该阈值时，鳍片才能增强换热。
• 对于矩形鳍片，当 Bi × 厚度 < 1.64 时效率达到最大，临界值为 Bi_c ≈ 16.4（厚度为 0.1 时的无量纲单位）。
• 临界厚度条件可转化为一个量纲准则：鳍片厚度 < 1.64 × k / h，与鳍片长度或基底厚度无关。
• 最大鳍片效率出现在 Bi = 0 时，其值为 2H_f + 1，其中 H_f 为无量纲鳍片长度。
• 通过有限差分和有限元方法进行的数值验证，证实了边界元法和优化结果的准确性。