[论文解读] Cross-Composition: A New Technique for Kernelization Lower Bounds

Hans L. Bodlaender, Bart M. P. Jansen+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2010

Advanced Graph Theory Research参考文献 29被引用 113

一句话总结

本文提出了一种名为交叉组合（cross-composition）的新技术，用于在参数复杂性中证明核化下界。通过将多个 NP-难问题的实例组合成一个参数化问题的单个实例，且该参数在最大输入实例大小的多项式界内，该方法表明：若此类组合存在，则目标问题不可能存在多项式核，除非多项式层次结构崩溃。该技术推广并强化了先前的方法，如或组合（or-composition）和多项式参数变换（polynomial parameter transformations）。

ABSTRACT

We introduce a new technique for proving kernelization lower bounds, called cross-composition. A classical problem L cross-composes into a parameterized problem Q if an instance of Q with polynomially bounded parameter value can express the logical OR of a sequence of instances of L. Building on work by Bodlaender et al. (ICALP 2008) and using a result by Fortnow and Santhanam (STOC 2008) we show that if an NP-complete problem cross-composes into a parameterized problem Q then Q does not admit a polynomial kernel unless the polynomial hierarchy collapses. Our technique generalizes and strengthens the recent techniques of using OR-composition algorithms and of transferring the lower bounds via polynomial parameter transformations. We show its applicability by proving kernelization lower bounds for a number of important graphs problems with structural (non-standard) parameterizations, e.g., Chromatic Number, Clique, and Weighted Feedback Vertex Set do not admit polynomial kernels with respect to the vertex cover number of the input graphs unless the polynomial hierarchy collapses, contrasting the fact that these problems are trivially fixed-parameter tractable for this parameter. We have similar lower bounds for Feedback Vertex Set.

研究动机与目标

• 开发一种新的、通用的技术，用于在参数复杂性中证明核化下界。
• 克服先前方法（如或组合和多项式参数变换）的局限性。
• 为以顶点覆盖数等结构参数为参数的问题建立强有力的下界。
• 展示该技术在基本图问题（如染色数、团数、加权反馈顶点集和反馈顶点集）中的适用性。

提出的方法

• 交叉组合从多个经典 NP-难问题 L 的实例构造一个参数化问题 Q 的单个实例，其中 Q 的参数在最大输入实例大小的多项式界内。
• 该构造确保组合后的实例是 Q 的一个“是”实例，当且仅当至少一个 L 的输入实例是“是”实例，从而表达输入的逻辑或关系。
• 该方法依赖于 Fortnow 和 Santhanam（STOC 2008）的结果，将此类组合的存在性与多项式核的不存在性联系起来。
• 它通过允许源问题和目标问题不同，推广了或组合方法，并避免了输入实例必须具有相同参数值的需要。
• 该技术使用图构件（例如带权顶点的 BK4 图）来编码实例索引的二进制表示，并对解集施加结构约束。
• 通过双向归约证明组合的正确性：组合实例中的解意味着原始实例中存在一个解，反之亦然。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否使用一种推广或组合和多项式参数变换的方法，来证明参数化问题更强的核化下界？
• RQ2 从一个 NP-难问题到一个参数化问题存在交叉组合，是否意味着后者不可能具有多项式核？
• RQ3 交叉组合能否应用于以顶点覆盖数等结构参数为参数的问题，即使这些问题对该参数是 FPT 的？
• RQ4 是否存在如染色数、团数和反馈顶点集等基本图问题，在此类参数化下不具有多项式核？

主要发现

• 加权反馈顶点集以顶点覆盖数为参数时，除非 NP ⊆ coNP/poly，否则不具有多项式核。
• 染色数和团数以顶点覆盖数为参数时，同样在相同假设下不具有多项式核。
• 反馈顶点集以顶点覆盖数为参数时，除非 NP ⊆ coNP/poly，否则不具有多项式核。
• 交叉组合技术成功地将经典 NP-难问题的下界转移到具有结构参数的参数化问题上。
• 该方法通过允许源问题和目标问题不同，推广并强化了先前的方法，如或组合和多项式参数变换。
• 结果表明，尽管这些问题是顶点覆盖参数下的固定参数可满足的，但它们在多项式核形式的高效数据规约方面仍然缺失。