[论文解读] Cross-Dimensional Linear Systems

Daizhan Cheng, Zequn Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2017

Matrix Theory and Algorithms参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文通过使用半张量积（STP）推广矩阵与向量运算，提出跨维线性系统（CDLS），使动态系统能够在任意且变化的维度上运行。该研究建立了一个框架，其中矩阵在M-积下构成一个独异点，向量在V-积下构成一个混合向量空间，从而在等价类的商空间上得出离散与连续时间系统的可控制性与可观测性结果。

ABSTRACT

Semi-tensor product(STP) or matrix (M-) product of matrices turns the set of matrices with arbitrary dimensions into a monoid $({\cal M},\ltimes)$. A matrix (M-) addition is defined over subsets of a partition of ${\cal M}$, and a matrix (M-) equivalence is proposed. Eventually, some quotient spaces are obtained as vector spaces of matrices. Furthermore, a set of formal polynomials is constructed, which makes the quotient space of $({\cal M},\ltimes)$, denoted by $(Σ, \ltimes)$, a vector space and a monoid. Similarly, a vector addition (V-addition) and a vector equivalence (V-equivalence) are defined on ${\cal V}$, the set of vectors of arbitrary dimensions. Then the quotient space of vectors, $Ω$, is also obtained as a vector space. The action of monoid $({\cal M},\ltimes)$ on ${\cal V}$ (or $(Σ, \ltimes)$ on $Ω$) is defined as a vector (V-) product, which becomes a pseudo-dynamic system, called the cross-dimensional linear system (CDLS). Both the discrete time and the continuous time CDLSs have been investigated. For certain time-invariant case, the solutions (trajectories) are presented. Furthermore, the corresponding cross-dimensional linear control systems are also proposed and the controllability and observability are discussed. Both M-product and V-product are generalizations of the conventional matrix product, that is, when the dimension matching condition required by the conventional matrix product is satisfied they coincide with the conventional matrix product. Both M-addition and V-addition are generalizations of conventional matrix addition. Hence, the dynamics discussed in this paper is a generalization of conventional linear system theory.

研究动机与目标

• 开发一个适用于在任意且可变维度空间中运行的动态系统之数学框架。
• 将传统矩阵与向量运算（乘积、加法）推广至处理不同维度的矩阵与向量。
• 定义矩阵与向量的等价关系，使其形成的商空间构成向量空间，从而实现对维度可变系统的统一处理。
• 利用形式多项式与商独异点，将跨维线性系统表述为伪动态系统。
• 研究离散与连续时间跨维线性控制系统在可控制性与可观测性方面的普遍条件。

提出的方法

• 将M-积（半张量积）定义为任意维度矩阵间的二元运算，形成独异点 $({\rm\bf M}, \ltimes)$。
• 在矩阵子集上引入M-加法以形成混合向量空间，并定义M-等价关系以构建商空间 $\Sigma = \mathcal{M}/\sim$。
• 将V-积定义为 $\mathcal{M}$ 在向量集 $\mathcal{V}$ 上的作用，形成伪动态系统。
• 在任意维度的向量上定义V-加法与V-等价关系，以构建商空间 $\Omega = \mathcal{V}/\leftrightarrow$，该空间为向量空间。
• 利用形式多项式 $\mathcal{P}_{\mathcal{M}}$ 与 $\mathcal{P}_{\Sigma}$，将所有矩阵与商矩阵空间统一为混合向量空间。
• 分别将离散与连续时间CDLS表述为 $\vec{x}(t+1) = \langle A \rangle \vec{\ltimes} \vec{x}(t)$ 与 $\vec{x}(t) = e^{A_*t}x_0 + \int_0^t e^{A_*(t-\tau)}Bu(\tau)d\tau$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将矩阵与向量运算推广至处理任意且可变维度，突破传统矩阵代数的限制？
• RQ2 由矩阵与向量等价关系形成的商空间具有何种结构，其如何支持无维度空间上的线性代数？
• RQ3 如何将跨维线性系统建模为伪动态系统，其轨迹有限可计算的条件是什么？
• RQ4 连续时间跨维线性系统中可控制性与可观测性的普遍条件是什么？
• RQ5 该理论框架如何扩展至实际的维度可变系统，如网络化系统或基因调控网络？

主要发现

• 任意维度矩阵的集合在M-积（半张量积）下构成一个独异点，推广了传统矩阵乘法。
• 在M-等价关系下的矩阵商空间 $\Sigma = \mathcal{M}/\sim$ 是一个向量空间，支持在无维度矩阵类上的线性代数。
• 在V-等价关系下的向量商空间 $\Omega = \mathcal{V}/\leftrightarrow$ 同样是一个向量空间，支持无维度的向量运算。
• 离散时间CDLS的轨迹为 $\vec{x}(t) = \langle A \rangle^{t} \vec{x}_0$，连续时间系统的轨迹为 $\vec{x}(t) = \overline{e^{A_*t}x_0 + \int_0^t e^{A_*(t-\tau)}Bu(\tau)d\tau}$，当 $\langle A \rangle$ 为维数有界时，该轨迹可有限计算。
• 系统 (187) 被证明具有可控制性与可观测性，验证了该框架在控制设计中的可行性。