[论文解读] Cross-Points in Domain Decomposition Methods with a Finite Element Discretization

Martin J. Gander, Kévin Santugini-Repiquet|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 15被引用 16

一句话总结

本论文解决了在非重叠域分解方法中使用有限元法时，于多个子域交汇的交点处一致离散化诺伊曼条件的挑战。提出了两种方法：辅助变量法，通过引入额外的界面变量实现稳定收敛；完整通信法，通过让所有共享交点的子域参与信息交换，确保诺伊曼交换的一致性；两种方法均支持收敛性证明与最优参数选择，且表明质量集中化可代数生成更高阶的Ventcell型传输条件。

ABSTRACT

Non-overlapping domain decomposition methods necessarily have to exchange Dirichlet and Neumann traces at interfaces in order to be able to converge to the underlying mono-domain solution. Well known such non-overlapping methods are the Dirichlet-Neumann method, the FETI and Neumann-Neumann methods, and optimized Schwarz methods. For all these methods, cross-points in the domain decomposition configuration where more than two subdomains meet do not pose any problem at the continuous level, but care must be taken when the methods are discretized. We show in this paper two possible approaches for the consistent discretization of Neumann conditions at cross-points in a Finite Element setting.

研究动机与目标

• 解决在有限元域分解方法中，于多个子域交汇的交点处诺伊曼条件离散不一致的问题。
• 为多个子域交汇处的诺伊曼迹提供数学上一致且收敛的离散化策略。
• 证明即使存在交点奇点，非重叠优化 Schwarz 方法在有限元离散化下仍可收敛。
• 展示质量集中化如何代数生成更高阶的Ventcell传输条件，避免复杂切向导数的离散化。
• 识别在存在交点时，可最小化收敛振荡的最优Robin参数与叠加质量因子。

提出的方法

• 提出辅助变量法，即子域存储额外的界面变量以表示诺伊曼数据，从而在交点处实现一致的诺伊曼迹离散化。
• 采用完整通信法，要求与所有接触交点的子域交换信息，即使仅在一点相连，以维持一致性。
• 利用能量估计证明使用辅助变量时域分解算法的收敛性，此结果在标准有限元离散化于交点处无法实现。
• 提出一种方法，从交点处多个可能的诺伊曼迹分解中选择，以最小化迭代过程中的振荡。
• 证明Robin条件的质量集中化可代数等价生成更高阶的Ventcell传输条件，即使在交点处也无需直接离散化切向导数。
• 在Laplace方程上进行数值实验，采用$Q_1$有限元与$2\times2$子域，评估不同Robin参数与叠加质量水平下的收敛因子。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限元域分解方法中，如何在交点处一致离散化诺伊曼条件？
• RQ2 当存在交点时，能否证明非重叠优化Schwarz方法在有限元离散化下的收敛性？
• RQ3 在交点处，如何最优地分割诺伊曼迹以最小化迭代过程中的振荡？
• RQ4 能否通过质量集中化，在有限元框架下代数生成更高阶的Ventcell传输条件？
• RQ5 在存在交点的情况下，最优Robin参数与叠加质量因子如何随网格细化而变化？

主要发现

• 辅助变量法通过能量估计实现了严格的收敛性证明，而标准有限元离散化在交点处无法实现此结果。
• 完整通信法通过让所有共享交点的子域参与通信，确保了诺伊曼条件离散化的一致性，即使子域仅在一点相连。
• 对于每个子域$100\times100$的网格，使用完整通信法在$p=2.0$与$\omega=122.5$时达到最佳收敛因子$\kappa=0.6013464$。
• 使用辅助变量法时，对于$100\times100$个单元，在$p=2.0$与$\omega=122.0$时达到最佳收敛因子$\kappa=0.6006753$。
• 最优Robin参数$p$在交点处近似呈$O(1/h)$量级，与先前理论估计一致，而常规界面点处为$O(1/\sqrt{h})$。
• Robin条件的质量集中化代数等价生成更高阶的Ventcell传输条件，即使在交点处也无需离散化切向导数。