[论文解读] Cross-wired lamplighter groups

Yves Cornulier, David Fisher+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2012

Electromagnetic Scattering and Analysis参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文将交叉接线灯工群（cross-wired lamplighter groups）引入为标准灯工群 $F\wr\mathbb{Z}$ 的推广，刻画了迪斯特尔-利德勒图 $\mathrm{DL}(m,n)$ 的等距同构群中闭合、余紧子群的结构。证明了每个此类群均存在一个指标为二的子群，其在另一张迪斯特尔-利德勒图上传递作用，表明 $\mathrm{Isom}(\mathrm{DL}(n,n))$ 中的格子不一定是灯工群，并通过半直积与特定自相似子群的结构提供了代数刻画。

ABSTRACT

We give a necessary and sufficient condition for a locally compact group to be isomorphic to a closed cocompact subgroup in the isometry group of a Diestel-Leader graph. As a consequence of this condition, we see that every cocompact lattice in the isometry group of a Diestel-Leader graph admits a transitive, proper action on some other Diestel-Leader graph. We also give some examples of lattices that are not virtually lamplighters. This implies the class of discrete groups commensurable to lamplighter groups is not closed under quasi-isometries and, combined with work of Eskin, Fisher and Whyte, gives a characterization of their quasi-isometry class.

研究动机与目标

• 刻画 $\mathrm{Isom}^+(\mathrm{DL}(m,n))$ 中闭合、余紧子群的结构，其中 $m,n \geq 2$。
• 确定此类子群何时作为格子出现，以及它们是否与标准灯工群准等距。
• 提供 $\mathrm{Isom}(\mathrm{DL}(n,n))$ 中格子的代数刻画，超越标准的半直积结构。
• 证明每个 $\mathrm{Isom}(\mathrm{DL}(n,n))$ 中的余紧格子均能在一个其他迪斯特尔-利德勒图上传递、适当作用。
• 构造非虚拟灯工群的格子例子，表明与灯工群共轭的群类在准等距下不封闭。

提出的方法

• 利用迪斯特尔-利德勒图 $\mathrm{DL}(m,n)$ 作为 $n+1$-正则树乘积上波塞曼函数的水平集的结构。
• 分析 $\mathrm{DL}(m,n)$ 的等距同构，区分正等距同构（乘积自同构的限制）与非正等距同构（与对换复合）。
• 为闭合、余紧子群 $\Gamma < \mathrm{Isom}^+(\mathrm{DL}(m,n))$ 建立半直积分解 $\Gamma = H \rtimes \langle t \rangle$，其中 $H$ 为正规、非紧致的开子群。
• 定义 $H$ 中的开子群 $L, L' \subset H$，使得 $tLt^{-1}$ 与 $t^{-1}L't$ 分别为指数 $m$ 与 $n$ 的子群，且 $\bigcup_k t^{-k}Lt^k$ 与 $\bigcup_k t^kL't^{-k}$ 均覆盖 $H$。
• 证明 $L \cap L'$ 是紧致的，且 $LL' = H$，从而推出 $L \backslash H / L'$ 为单点集。
• 利用 $H$ 的自相似结构，构造 $\Gamma$ 在 $\mathrm{DL}(m,n)$ 上的适当、传递作用，其核为 $\bigcap_k t^{-k}(L \cap L')t^k$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何刻画 $\mathrm{Isom}^+(\mathrm{DL}(m,n))$ 中闭合、余紧子群的结构，其中 $m,n \geq 2$？
• RQ2 每个 $\mathrm{Isom}(\mathrm{DL}(n,n))$ 中的余紧格子是否都能在另一张迪斯特尔-利德勒图上传递作用？
• RQ3 是否存在 $\mathrm{Isom}(\mathrm{DL}(n,n))$ 中的格子，其不虚拟同构于标准灯工群 $F\wr\mathbb{Z}$？
• RQ4 与灯工群共轭的群类是否在准等距下封闭？
• RQ5 当 $m \neq n$ 时，$\mathrm{Isom}(\mathrm{DL}(m,n))$ 中格子的代数结构为何？

主要发现

• 每个闭合、余紧子群 $\Gamma < \mathrm{Isom}^+(\mathrm{DL}(m,n))$ 均存在唯一的开正规子群 $H$，使得 $\Gamma/H \cong \mathbb{Z}$，且 $H$ 可分解为两个子群 $L$ 与 $L'$ 的共轭的并，满足特定的指数条件。
• 双重陪集空间 $L \backslash H / L'$ 为单点集，且 $L \cap L'$ 为紧致集，表明 $H$ 具有高度对称的自相似结构。
• 任何 $\mathrm{Isom}(\mathrm{DL}(n,n))$ 中的余紧格子 $\Gamma$ 均能在一个其他迪斯特尔-利德勒图 $\mathrm{DL}(n,n)$ 上实现适当、传递作用，即使 $\Gamma$ 本身并非灯工群。
• 存在 $\mathrm{Isom}(\mathrm{DL}(n,n))$ 中的格子，其不是虚拟灯工群，表明与灯工群共轭的群类在准等距下不封闭。
• 当 $\Gamma$ 为离散群时，参数 $m$ 与 $n$ 必须相等，即 $\Gamma < \mathrm{Isom}(\mathrm{DL}(n,n))$，且 $\Gamma$ 为有限生成群。
• 交叉接线灯工群的示例包括来自正特征局部域上海森堡群的线性群（其为剩余有限群），以及可通过具有收缩自同构的幂零群构造的非线性示例。