[论文解读] Crossed modules and the integrability of Lie brackets

Iakovos Androulidakis|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文建立了可积性障碍与自然关联的李群胚交叉模提升障碍之间的精确对应关系。它表明，此类李代数胚的可积性障碍由同构类Čech上同调分类，并通过上同调群的自由且忠实作用，对PBG-群胚的耦合对交叉模的算子扩张提供了完整分类。

ABSTRACT

We show that the integrability obstruction of a transitive Lie algebroid coincides with the lifting obstruction of a crossed module of groupoids associated naturally with the given algebroid. Then we extend this result to general extensions of integrable transitive Lie algebroids by Lie algebra bundles. Such a lifting obstruction is directly related with the classification of extensions of transitive Lie groupoids. We also give a classification of such extensions which differentiates to the classification of transitive Lie algebroids discussed in \cite{KCHM:new}.

研究动机与目标

• 将传递李代数胚的可积性障碍与关联的李群胚交叉模的提升障碍相联系。
• 将可积传递李代数胚的扩张分类方法从李代数丛情形推广。
• 对PBG-群胚的耦合对交叉模的算子扩张提供上同调分类。
• 将可积性问题与辛几何中的几何预量化和曲率量化相联系。
• 将[15]和[17]中的结果推广至PBG-群胚与同构类上同调的设定。

提出的方法

• 利用其关联的李群胚和各向同性丛，从传递李代数胚构造一个李群胚交叉模。
• 为结构群为$G$、纤维为$H$的主丛定义同构类Čech上同调$\check{H}^1_G(P \times P, ZH)$。
• 通过局部截面和转移函数，定义满足$\varphi_{ij}(g)(h_1 h_2) = \varphi_{ik}(g)(h_1) \varphi_{kj}(g)(h_2)$的上链态射$\varphi_{ij}: G \times H \to H$。
• 引入算子PBG-群胚作为$P \times P$对李群丛$F$的扩张，其结构在同构类转移函数下保持不变。
• 定义$\check{H}^1_G(P \times P, ZH)$对算子扩张等价类集合的作用。
• 将该理论应用于通过上同调群作用对PBG-群胚的耦合对交叉模扩张进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 传递李代数胚的可积性障碍与关联的李群胚交叉模的提升障碍之间存在何种精确关系？
• RQ2 可积传递李代数胚的扩张分类方法如何超越李代数丛的情形进行推广？
• RQ3 同构类Čech上同调在PBG-群胚及其扩张的分类中起何种作用？
• RQ4 $\check{H}^1_G(P \times P, ZH}$对算子扩张的作用如何与主丛和李群胚的几何相关联？
• RQ5 PBG-群胚交叉模的障碍理论如何推广[15]中对传递李代数胚的分类？

主要发现

• 传递李代数胚的可积性障碍与关联的李群胚交叉模的提升障碍完全一致。
• PBG-群胚的耦合对交叉模的算子扩张等价类集合由$\check{H}^1_G(P \times P, ZH)$的自由且忠实作用分类。
• PBG-群胚的转移函数$s_{ij}$满足同构类条件$s_{ij}(ug) = \varphi_{ij}(g)(s_{ij}(u))$，其中$\varphi_{ij}$为上链态射。
• $\check{H}^1_G(P \times P, ZH)$上同调群对具有纤维类型$H$的主丛$P(M,G)$上的PBG-群胚进行分类。
• $\check{H}^1_G(P \times P, ZH}$对算子扩张的作用是良定义的，并保持交叉模的结构。
• 该理论将辛流形的预量化条件作为传递李代数胚可积性的特例提供了几何实现。