[论文解读] Crossed modules of monoids II. Relative crossed modules

Gabriella Böhm|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2018

Algebraic structures and combinatorial models被引用 1

一句话总结

本文在具有满足特定兼容性条件的跨度类的张量范畴中，建立了幺半群的相对范畴与幺半群的相对交叉模之间的等价性。通过推广Janelidze对半阿贝尔范畴的方法，证明了通过相对拉回定义的相对范畴（categorically equivalent）与通过分配律和作用定义的相对交叉模之间存在范畴等价，将已知的群与霍普夫代数之间的等价关系推广至更广泛的范畴设定（包括跨度范畴和余代数范畴）中的幺半群。

ABSTRACT

This is the second part of a series of three strongly related papers in which three equivalent structures are studied: - internal categories in categories of monoids; defined in terms of pullbacks relative to a chosen class of spans - crossed modules of monoids relative to this class of spans - simplicial monoids of so-called Moore length 1 relative to this class of spans. The most important examples of monoids that are covered are small categories (treated as monoids in categories of spans) and bimonoids in symmetric monoidal categories (regarded as monoids in categories of comonoids). In this second part we define relative crossed modules of monoids and prove their equivalence with the relative categories of Part I.

研究动机与目标

• 将交叉模与严格2-群之间的等价性推广至缺乏完整拉回的任意张量范畴中的幺半群。
• 针对与张量结构相容的选定跨度类，定义并研究幺半群的相对交叉模。
• 建立通过相对拉回定义的相对范畴（幺半群在具有相对拉回的跨度范畴中）与幺半群的相对交叉模之间的范畴等价。
• 通过将一般框架应用于跨度范畴与余代数范畴，恢复已知构造，如群胚的交叉模与霍普夫幺半群。
• 为理解具有相对拉回的张量范畴中的内部范畴、交叉模与摩尔长度为1的单纯幺半群提供统一框架。

提出的方法

• 使用一个既可接受又具有张量性质的跨度类 S，以确保与环境范畴张量结构的兼容性。
• 定义相对于 S 的相对拉回，其作为新跨度范畴中张量积的结构。
• 将相对范畴定义为该具有相对拉回的跨度范畴中的幺半群，从而推广内部范畴的概念。
• 应用幺半群的分裂满同态与分配律理论，刻画相对范畴中的态射。
• 通过分配律建立相对预交叉模与幺半群的可换图之间的对应关系。
• 在霍普夫幺半群情形下，通过证明相关图表在反极存在时的交换性，建立相对范畴与相对交叉模之间的完整范畴等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将交叉模与内部范畴之间的等价性从群推广至缺乏完整拉回的张量范畴中的幺半群？
• RQ2 何种跨度类的条件可确保相对拉回存在并形成适合定义内部范畴的张量结构？
• RQ3 幺半群与其作用之间的分配律以何种方式编码了相对交叉模的结构？
• RQ4 当特殊化至跨度范畴或余代数范畴时，相对范畴与相对交叉模的构造有何关联？
• RQ5 交叉模与摩尔长度为1的单纯群之间的等价性是否可推广至对称张量范畴中的幺半群？

主要发现

• 在幺半群范畴中，相对范畴的范畴与幺半群的相对交叉模的范畴之间存在范畴等价。
• 该等价性通过分配律与幺半群的分裂满同态结构建立，推广了Janelidze对半阿贝尔范畴的方法。
• 当幺半群 B 是具有反极 z 的霍普夫幺半群时，图 (3.17) 的交换性等价于图 (3.15) 的交换性，为等价性提供了关键技术条件。
• 该框架恢复了已知结果：霍普夫代数上的 Cat1-霍普夫代数与交叉模之间的等价性，以及群上的 Cat1-群与交叉模之间的等价性。
• 证明依赖于态射 →s 的幂等性与辫子 c 的自然性，这些性质使得图表化约化与等价成为可能。
• 结果可推广至两个幺半群均为霍普夫或余交换霍普夫幺半群的全子范畴，作为特例恢复了 [16, Proposition 11] 与 [16, Theorem 14]。