[论文解读] Crossed product and Galois extension of monoidal Hom-Hopf algebras

Ning, Yan, Daowei Lu|arXiv (Cornell University)|May 29, 2014

Advanced Topics in Algebra参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文在张量Hom-Hopf代数的背景下引入了交叉积、裂化扩张和Galois扩张，证明了交叉积等价于裂化扩张，且裂化扩张等价于具有正规基性质的Galois扩张。主要贡献在于通过扭曲自同构将经典的Hopf-Galois理论推广至Hom代数结构。

ABSTRACT

Let $(H,α)$ be a monoidal Hom-Hopf algebra, and $(A,β)$ a Hom-algebra. In this paper we will introduce the crossed product $(A\#_σH,β\otimesα)$, which is a Hom-algebra. Then we will introduce the notions of cleft extensions and Galois extensions respectively, and prove that a crossed product is equivalent to a cleft extension and a cleft extension is equivalent to a Galois extension with normal bases property.

研究动机与目标

• 将交叉积与Galois扩张理论从普通Hopf代数推广至张量Hom-Hopf代数。
• 在Hom代数框架下定义并研究裂化扩张与Galois扩张。
• 在Hom设定下建立交叉积、裂化扩张与具有正规基性质的Galois扩张之间的等价性。
• 将经典Hopf代数理论中的结果（如具有正规基性质的Hopf-Galois扩张与交叉积之间的等价性）推广至Hom结构框架。

提出的方法

• 通过使用扭曲2-上循环 $\sigma$，从Hom代数 $(A,\beta)$ 和张量Hom-Hopf代数 $(H,\alpha)$ 构造Hom代数 $(A\#_{\sigma}H, \beta\otimes\alpha)$ 的交叉积。
• 将裂化扩张定义为Hom代数扩张 $A \subset B$，其存在一个卷积逆映射 $\gamma: H \to B$，使得 $B \cong A \#_{\sigma} H$ 作为Hom代数。
• 通过双射典范映射 $\varphi: B \otimes_A B \to B \otimes H$ 引入具有正规基性质的Galois扩张的概念，定义为 $\varphi(a \otimes b) = \beta^{-1}(a)b_{(0)} \otimes \alpha(b_{(1)})$。
• 证明典范映射 $\varphi$ 是双模同构当且仅当扩张是裂化的，利用卷积逆与Hom余作用的相容性。
• 使用Hom范畴 $\tilde{\mathcal{H}}(\mathcal{M}_k)$ 定义Hom代数与Hom余代数上的张量结构，确保与扭曲映射 $\alpha$、$\beta$ 和 $\gamma$ 的相容性。
• 验证Hom-Jacobi恒等式、Hom结合律及扭曲余结合律在构造下保持不变，确保所得结构为良定义的Hom代数与Hom余模。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典交叉积的概念推广至张量Hom-Hopf代数的设定？
• RQ2 何种条件可确保Hom代数扩张为裂化扩张，其与卷积逆映射存在的关系为何？
• RQ3 在Hom代数设定下，具有正规基性质的Galois扩张在何种条件下与裂化扩张等价？
• RQ4 经典Hopf代数理论中已知的交叉积与Galois扩张之间的等价性，能否推广至Hom结构框架？

主要发现

• 交叉积 $(A\#_{\sigma}H, \beta\otimes\alpha)$ 被构造为一个Hom代数，推广了Hopf代数理论中的经典交叉积。
• 证明了交叉积与裂化扩张等价，即 $B \cong A\#_{\sigma}H$ 当且仅当存在一个满足 $\gamma(h_1)\gamma(h_2) = \gamma(h_1 h_2)$ 与 $\varepsilon(h)1 = g(\gamma(h))$ 的卷积逆映射 $\gamma: H \to B$。
• 具有正规基性质的Galois扩张与裂化扩张等价，将经典结果从Hopf代数推广至Hom设定。
• 典范映射 $\varphi: B \otimes_A B \to B \otimes H$，定义为 $\varphi(a \otimes b) = \beta^{-1}(a)b_{(0)} \otimes \alpha(b_{(1)})$，是双模同构当且仅当扩张为裂化扩张。
• 若存在一个双射映射 $\theta: A \otimes H \to B$，其同时为左 $A$-模与右 $H$-余模同态，则 $B \cong A\#_{\sigma}H$ 作为Hom代数。
• 推论5.4表明 $A \subset B$ 是具有正规基的Galois扩张当且仅当 $B \cong A\#_{\sigma}H$，从而完成等价链：交叉积 $\Leftrightarrow$ 裂化扩张 $\Leftrightarrow$ 具有正规基性质的Galois扩张。