[论文解读] Crossed products and cleft extensions for coquasi-Hopf algebras

Adriana Balan|ArXiv.org|May 27, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文引入了共拟霍普夫代数的交叉积与裂化扩张，将霍普夫代数构造推广至非双代数结构。研究证明裂化扩张等价于具有可逆协边的交叉积，并对二维和三维非平凡共拟霍普夫代数完成了此类扩张的完整分类，通过莫里塔等价表明其共拟霍普夫模范畴是平凡的。

ABSTRACT

The notion of crossed product by a coquasi-bialgebra H is introduced and studied. The resulting crossed product is an algebra in the monoidal category of right H-comodules. We give an interpretation of the crossed product as an action of a monoidal category. In particular, necessary and sufficient conditions for two crossed products to be equivalent are provided. Then, two structure theorems for coquasi Hopf modules are given. First, these are relative Hopf modules over the crossed product. Second, the category of coquasi-Hopf modules is trivial, namely equivalent to the category of modules over the starting associative algebra. In connection the crossed product, we recall the notion of a cleft extension over a coquasi-Hopf algebra. A Morita context of Hom spaces is constructed in order to explain these extensions, which are shown to be equivalent with crossed product with invertible cocycle. At the end, we give a complete description of all cleft extensions by the non-trivial coquasi-Hopf algebras of dimension two and three.

研究动机与目标

• 将交叉积与裂化扩张理论从双代数和霍普夫代数推广至共拟霍普夫代数。
• 通过共模范畴的张量范畴作用，为交叉积提供范畴解释。
• 为裂化扩张建立莫里塔框架，并证明其与具有可逆协边的交叉积等价。
• 对二维和三维非平凡共拟霍普夫代数的所有裂化扩张进行分类。
• 证明当共拟双代数具有反极且协边可逆时，共拟霍普夫模范畴是平凡的——即与基代数上的模范畴等价。

提出的方法

• 为共拟双代数 $ H $ 与一个 $ H $-弱作用代数 $ R $ 定义交叉积 $ R \overline{\#}_{\sigma} H $，使用由重结合子 $ \omega $ 修正的取值于 $ R $ 的 2-协边。
• 利用张量范畴理论，将交叉积解释为共模范畴对 $ R $-模范畴的作用。
• 通过构造 Hom 空间的莫里塔框架来分析裂化扩张，并证明其与具有可逆协边的交叉积等价。
• 通过满足特定相容性条件的六元组 $ (\mathcal{F}, \mathcal{G}, u^{(1)}, u^{(2)}, v^{(1)}, v^{(2)}) $ 来刻画裂化 $ H(3) $-数据。
• 利用卷积可逆映射 $ \mathfrak{a}: H(3) \to B $，将不同交叉积代数之间的同构关系与基代数 $ B $ 的内自同构联系起来。
• 证明当协边可逆且 $ H $ 具有反极时，共拟霍普夫模范畴通过特殊投影到余不变量，与 $ R $-模范畴等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 在缺乏严格结合律的条件下，如何将交叉积的概念从双代数推广至共拟霍普夫代数？
• RQ2 在何种条件下，共拟霍普夫代数上的裂化扩张等价于具有可逆协边的交叉积？
• RQ3 共拟霍普夫模范畴的结构是什么？在何种情况下它是平凡的（即与基代数上的模范畴等价）？
• RQ4 如何对二维和三维非平凡共拟霍普夫代数的所有裂化扩张进行分类？
• RQ5 决定由不同裂化数据构造的两个交叉积代数之间同构的条件是什么？

主要发现

• 共拟霍普夫代数上的裂化扩张等价于具有可逆协边的交叉积，推广了霍普夫代数的情形。
• 当共拟双代数具有反极且协边可逆时，共拟霍普夫模范畴是平凡的——即与基代数 $ R $ 上的右模范畴等价。
• 所有关于非平凡三维共拟霍普夫代数 $ H(3) $ 的裂化扩张都同构于一个交叉积 $ \left(\frac{\mathcal{F},\mathcal{G},u^{(1)},u^{(2)},v^{(1)},v^{(2)}}{B}\right) $，其完全由满足命题 46 中六个条件的数据参数化。
• 当且仅当其数据通过基代数 $ B $ 的内自同构关联时，两个此类交叉积同构，且映射与元素具有特定变换规则。
• 交叉积 $ H^* \overline{\#}_{\sigma} H $ 是共拟双代数的海森堡双积的类比，其协边由重结合子 $ \omega $ 构造。
• 在有限维情形下，交叉系统对应于右 $ H^* $-共模代数，且交叉积与豪斯勒与尼尔的拟平展积一致。