[论文解读] Crossed products by abelian semigroups via transfer operators

Nadia S. Larsen|ArXiv.org|Feb 15, 2005

Advanced Operator Algebra Research参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文将Exel的单个自同态与转移算子的交叉积推广至阿贝尔半群的自同态作用及其关联的转移算子。通过将Fowler的希尔伯特双模积系统理论扩展至包含相对Cuntz-Pimsner代数，作者构建了一个统一已知构造并产生新例子的普遍交叉积，例如在紧致阿贝尔群Γ上的C(Γ)上的交叉积，其在特定情况下同构于Hecke C*-代数。

ABSTRACT

We propose a generalisation of Exel's crossed product by a single endomorphism and a transfer operator to the case of actions of abelian semigroups of endomorphisms and associated transfer operators. The motivating example for our definition yields new crossed products, not obviously covered by familiar theory. Our technical machinery builds on Fowler's theory of Toeplitz and Cuntz-Pimsner algebras of discrete product systems of Hilbert bimodules, which we need to expand to cover a natural notion of relative Cuntz-Pimsner algebras of product systems.

研究动机与目标

• 将Exel的单个自同态与转移算子的交叉积构造推广至具有关联转移算子的阿贝尔半群自同态作用。
• 为半群上的希尔伯特双模积系统发展相对Cuntz-Pimsner代数的理论，扩展Fowler的框架。
• 统一并推广现有的交叉积构造，特别是当结果代数未被标准理论覆盖时。
• 分析一个激励性例子，即在紧致阿贝尔群Γ上由N*作用的C(Γ)，并关联转移算子。
• 在特定情况下建立新交叉积与已知代数（如Hecke C*-代数）之间的同构关系。

提出的方法

• 为半群动力系统(A, S, α, L)构造一个Toeplitz交叉积，作为协变表示的普遍C*-代数，其中S为含单位元的阿贝尔半群，α为自同态作用，L为转移算子族。
• 将交叉积A ⋊α,L S定义为Toeplitz交叉积关于冗余理想的一个商。
• 构建一个半群S上的希尔伯特双模积系统X，其Toeplitz代数实现Toeplitz交叉积。
• 通过特定理想Js = φs⁻¹(𝒦(Xs))上的共等距条件，将A ⋊α,L S识别为积系统X的相对Cuntz-Pimsner代数。
• 通过映射(π, V) ↦ (π, V*)，在满足共等距条件的系统(A, S, L, β)的Toeplitz表示与积系统X的表示之间建立双射对应。
• 证明当转移算子由具有遗传值域的单射自同态实现时，新交叉积与经典交叉积A ⋊α S一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Exel的单个自同态与转移算子的交叉积构造推广至具有关联转移算子的阿贝尔半群自同态作用？
• RQ2 希尔伯特双模积系统在半群上的相对Cuntz-Pimsner代数的适当推广是什么？它与交叉积有何关系？
• RQ3 在C(Γ)由N*作用的激励性例子中，何时结果交叉积同构于已知C*-代数（如Hecke代数）？
• RQ4 在何种条件下新交叉积A ⋊α,L S与经典交叉积A ⋊α S一致？
• RQ5 是否可以利用等距与共等距表示之间的对偶性，建立不同交叉积构造之间的同构关系？

主要发现

• 本文为阿贝尔半群S的自同态作用及其关联转移算子构造了新的交叉积A ⋊α,L S，推广了Exel的构造。
• 该交叉积被实现为希尔伯特双模积系统的相对Cuntz-Pimsner代数，将Fowler的理论扩展至包含相对结构。
• 当转移算子由具有遗传值域的单射自同态实现时，新交叉积同构于经典交叉积A ⋊α S，从而恢复了已知结果。
• 在激励性例子C(Γ)中，当Γ为紧致阿贝尔群且S = N*时，交叉积C(Γ) ⋊β,L N*在Γ = ℚ/ℤ时同构于Bost和Connes的Hecke C*-代数。
• 在定理4.7的假设下，同构A ⋊β,L S ≅ A ⋊L,β S ≅ A ⋊L S成立，表明在此背景下等距与共等距表示具有对偶性。
• 该构造产生了现有理论未明显涵盖的新C*-代数，特别是在半群作用并非来自单个自同态时，从而扩展了交叉积构造的适用范围。