[论文解读] Crossed products of Banach algebras. I

Sjoerd Dirksen, Marcel de Jeu+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 33被引用 11

一句话总结

本文提出了一种从巴拿赫代数动力系统 $(A, G, \alpha)$ 和一致有界的连续协变表示类 $\mathcal{R}$ 构造广义交叉积代数的方法。关键结果建立了交叉积代数的非退化有界表示与该系统非退化 $\mathcal{R}$-连续协变表示之间的双射，推广了著名的 $C^*$-代数交叉积对应关系，并将群 $C^*$-代数的概念扩展至巴拿赫代数。

ABSTRACT

We construct a crossed product Banach algebra from a Banach algebra dynamical system $(A,G,α)$ and a given uniformly bounded class $R$ of continuous covariant Banach space representations of that system. If $A$ has a bounded left approximate identity, and $R$ consists of non-degenerate continuous covariant representations only, then the non-degenerate bounded representations of the crossed product are in bijection with the non-degenerate $R$-continuous covariant representations of the system. This bijection, which is the main result of the paper, is also established for involutive Banach algebra dynamical systems and then yields the well-known representation theoretical correspondence for the crossed product $C^*$-algebra as commonly associated with a $C^*$-algebra dynamical system as a special case. Taking the algebra $A$ to be the base field, the crossed product construction provides, for a given non-empty class of Banach spaces, a Banach algebra with a relatively simple structure and with the property that its non-degenerate contractive representations in the spaces from that class are in bijection with the isometric strongly continuous representations of $G$ in those spaces. This generalizes the notion of a group $C^*$-algebra, and may likewise be used to translate issues concerning group representations in a class of Banach spaces to the context of a Banach algebra, simpler than $L^1(G)$, where more functional analytic structure is present.

研究动机与目标

• 将 $C^*$-代数交叉积构造推广至巴拿赫代数的设定。
• 在交叉积的非退化有界表示与系统非退化 $\mathcal{R}$-连续协变表示之间建立表示论对应关系。
• 通过为任意巴拿赫空间类 $\mathcal{X}$ 构造群巴拿赫代数 $\mathcal{B}_{\mathcal{X}}(G)$，将群 $C^*$-代数理论扩展至巴拿赫代数。
• 提供一个框架，将关于巴拿赫空间中群表示的问题转化为具有更丰富泛函分析工具的更简单、结构化的巴拿赫代数语境。

提出的方法

• 将交叉积巴拿赫代数 $A \rtimes_{\alpha}^\mathcal{R} G$ 构造为紧支集连续函数空间 $C_c(G, A)$ 关于由类 $\mathcal{R}$ 衍生的范数的完备化。
• 通过 $\mathcal{R}$-连续协变表示的上确界定义 $C_c(G, A)$ 上的范数，确保所得代数为巴拿赫代数。
• 利用 $A$ 中存在有界左逼近单位元的事实，确保交叉积的左中心化子代数支持来自交叉积非退化表示的表示。
• 通过表示的自然延拓，建立交叉积非退化有界表示与 $(A, G, \alpha)$ 非退化 $\mathcal{R}$-连续协变表示之间的双射。
• 将构造特化至 $A = \mathbb{C}$ 的情形，得到群巴拿赫代数 $\mathcal{B}_{\mathcal{X}}(G)$，其在 $\mathcal{X}$ 中的非退化收缩表示与这些空间中 $G$ 的等距强连续表示构成双射。
• 对于含对合的巴拿赫代数，当 $\mathcal{R}$ 由对合表示组成时，该对应关系作为特例恢复标准的 $C^*$-代数交叉积对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从巴拿赫代数动力系统 $(A, G, \alpha)$ 和连续协变表示类 $\mathcal{R}$ 构造出交叉积巴拿赫代数？
• RQ2 交叉积的非退化有界表示与系统非退化 $\mathcal{R}$-连续协变表示之间是否存在自然双射？
• RQ3 在 $C^*$-代数情形下，该构造是否推广了经典的 $C^*$-代数交叉积对应关系？
• RQ4 能否将群 $C^*$-代数构造扩展至巴拿赫代数，以捕捉任意巴拿赫空间中的等距群表示？
• RQ5 有界左逼近单位元在确保表示论对应关系成立中起什么作用？

主要发现

• 交叉积巴拿赫代数 $A \rtimes_{\alpha}^\mathcal{R} G$ 作为 $C_c(G, A)$ 关于由类 $\mathcal{R}$ 衍生范数的完备化而构造，使其成为巴拿赫代数。
• 当 $A$ 具有有界左逼近单位元且 $\mathcal{R}$ 由非退化连续协变表示组成时，交叉积的非退化有界表示与 $(A, G, \alpha)$ 的非退化 $\mathcal{R}$-连续协变表示之间存在双射。
• 对于含对合的巴拿赫代数动力系统，该对应关系作为特例恢复了标准的 $C^*$-代数表示论对偶性。
• 取 $A = \mathbb{C}$ 时，该构造产生群巴拿赫代数 $\mathcal{B}_{\mathcal{X}}(G)$，其在巴拿赫空间类 $\mathcal{X}$ 中的非退化收缩表示与这些空间中 $G$ 的等距强连续表示构成双射。
• 在平凡群情形下，该构造退化为 $A / \ker(\sigma^\mathcal{R})$ 关于半范数 $\sigma^\mathcal{R}(a) = \sup_{\pi \in \mathcal{R}} \|\pi(a)\|$ 的完备化，当 $\mathcal{R}$ 为希尔伯特空间中所有对合表示的类时，恢复了包络 $C^*$-代数。
• 该对应关系保持了表示的范数、闭不变子空间以及有界交错算子空间。