[论文解读] Crossed products of $L^p$ operator algebras and the K-theory of Cuntz algebras on $L^p$ spaces

N. Christopher Phillips|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用 24

一句话总结

本文在局部紧群的等距作用下，引入了 $L^p$ 算子代数的完整与约化交叉积，建立了其普遍性质，为阿贝尔群构造了对偶作用，并证明了 $5cmathbb{Z}$-作用下的 Pimsner-Voiculescu 正合序列。关键结果是 $L^p$ 陈代数 $5cmathcal{O}_d^p$ 的 $K$-理论满足 $K_0(5cmathcal{O}_d^p) \cong \mathbb{Z}/(d-1)\mathbb{Z}$ 且 $K_1(5cmathcal{O}_d^p) = 0$，与 $C^*$-代数情形一致。

ABSTRACT

For $p \in [1, \infty),$ we define and study full and reduced crossed products of algebras of operators on $σ$-finite $L^p$ spaces by isometric actions of second countable locally compact groups. We give universal properties for both crossed products. When the group is abelian, we prove the existence of a dual action on the full and reduced $L^p$ operator crossed products. When the group is discrete, we construct a conditional expectation to the original algebra which is faithful in a suitable sense. For a free action of a discrete group on a compact metric space $X,$ we identify all traces on the reduced $L^p$ operator crossed product, and if the action is also minimal we show that the reduced $L^p$ operator crossed product is simple. We prove that the full and reduced $L^p$ operator crossed products of an amenable $L^p$ operator algebra by a discrete amenable group are again amenable. We prove a Pimsner-Voiculescu exact sequence for the K-theory of reduced $L^p$ operator crossed products by ${\mathbb{Z}}.$ We show that the $L^p$ analogs ${\mathcal{O}}_d^p$ of the Cuntz algebras ${\mathcal{O}}_d$ are stably isomorphic to reduced $L^p$ operator crossed products of stabilized $L^p$ UHF algebra by ${\mathbb{Z}},$ and show that $K_0 ({\mathcal{O}}_d^p) \cong {\mathbb{Z}} / (d - 1) {\mathbb{Z}}$ and $K_1 ({\mathcal{O}}_d^p) = 0.$

研究动机与目标

• 为局部紧群的等距作用下的 $L^p$ 算子代数发展完整与约化交叉积的理论。
• 为离散群作用建立普遍性质与条件期望。
• 为 $5cmathbb{Z}$ 作用下的 $L^p$ 约化交叉积的 $K$-理论证明类似 Pimsner-Voiculescu 的正合序列。
• 计算 $L^p$ 陈代数 $5cmathcal{O}_d^p$ 的 $K$-理论，证明 $K_0(\u00005cmathcal{O}_d^p) \cong \mathbb{Z}/(d-1)\mathbb{Z}$ 且 $K_1(\u00005cmathcal{O}_d^p) = 0$。
• 在各种群与空间条件下，研究 $L^p$ 算子交叉积的单性、迹与可约性。

提出的方法

• 通过等距群作用在 $\sigma$-有限 $L^p$ 空间上的普遍性质，定义完整与约化 $L^p$ 算子交叉积。
• 为离散群构造从约化交叉积到原代数的条件期望，其在适当意义下为忠实的。
• 当群为第二可数、局部紧且阿贝尔时，证明完整与约化交叉积上存在对偶作用。
• 利用涉及 $K_0$ 与 $K_1$ 群的六项正合序列，建立 $5cmathbb{Z}$ 作用下 $L^p$ 约化交叉积 $K$-理论的 Pimsner-Voiculescu 正合序列。
• 将 $5cmathcal{O}_d^p$ 的稳定化实现为一个稳定化的 $L^p$ UHF 代数关于 $5cmathbb{Z}$ 的约化 $L^p$ 交叉积，从而实现 $K$-理论计算。
• 利用 Pimsner-Voiculescu 序列与该实现，计算出 $K_0(\u00005cmathcal{O}_d^p) \cong \mathbb{Z}/(d-1)\mathbb{Z}$ 与 $K_1(\u00005cmathcal{O}_d^p) = 0$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当群为有限群时，$L^p$ 完整交叉积是否同构于 $L^p$ 约化交叉积？
• RQ2 能否通过交叉积技巧计算 $L^p$ 陈代数 $\u00005cmathcal{O}_d^p$ 的 $K$-理论？
• RQ3 在紧致度量空间 $X$ 上的群 $G$ 作用下，$L^p$ 约化交叉积上的迹是否与 $X$ 上的 $G$-不变博雷尔概率测度一一对应？
• RQ4 一个可约 $L^p$ 算子代数关于可约离散群的 $L^p$ 约化交叉积是否仍为 Banach 代数意义下的可约代数？
• RQ5 $L^p$ 交叉积上的对偶作用是否满足类似 Takai 对偶性的性质？

主要发现

• $L^p$ 陈代数 $5cmathcal{O}_d^p$ 的 $K_0$-群同构于 $\mathbb{Z}/(d-1)\mathbb{Z}$，且 $K_1(\u00005cmathcal{O}_d^p) = 0$，与 $C^*$-代数情形一致。
• $5cmathcal{O}_d^p$ 的稳定化同构于一个稳定化的 $L^p$ UHF 代数关于 $5cmathbb{Z}$ 的 $L^p$ 约化交叉积，从而实现 $K$-理论计算。
• 对于一个可数离散群 $G$ 作用的自由极小紧致可度量化 $G$-空间 $X$，当 $G$ 为可数离散群时，$L^p$ 算子约化交叉积是单代数。
• 在紧致度量空间 $X$ 上，一个可数离散群的自由作用下，$L^p$ 约化交叉积上的迹与 $X$ 上的 $G$-不变博雷尔概率测度之间存在一一对应。
• 一个可约 $L^p$ 算子代数关于离散可约群的完整与约化 $L^p$ 交叉积均为 Banach 代数意义下的可约代数。
• $K$-理论的 Pimsner-Voiculescu 正合序列对 $5cmathbb{Z}$ 作用下的 $L^p$ 约化交叉积成立，为 $K$-理论计算提供了关键工具。