[论文解读] Crossing probabilities in asymmetric exclusion processes

Pablo A. Ferrari, Patrícia Gonçalves+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2008

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 7被引用 1

一句话总结

本文研究了跳跃速率不对称的简单排斥过程（ASEP），其中粒子向右跳跃速率为 $p \in (1/2,1]$，向左为 $1-p$，重点分析在阶跃初始条件下第二类粒子的碰撞概率。推导出两个第二类粒子发生碰撞的精确概率为 $(1+p)/3p$，该结果也等于两个 ASEP 过程在基本耦合下的耦合时间概率，并将此结果扩展至 $p=1$ 时的角生长模型中的共存概率。这些结果揭示了粒子系统与通过伯奇尔斯方程稀疏扇形解实现的流体动力学极限之间的深刻联系。

ABSTRACT

We consider the one-dimensional asymmetric simple exclusion process (ASEP) in which particles jump to the right at rate $p\in(1/2,1]$ and to the left at rate $1-p$, interacting by exclusion. In the initial state there is a finite region such that to the left of this region all sites are occupied and to the right of it all sites are empty. Under this initial state, the hydrodynamical limit of the process converges to the rarefaction fan of the associated Burgers equation. In particular suppose that the initial state has first-class particles to the left of the origin, second-class particles at sites 0 and 1, and holes to the right of site 1. We show that the probability that the two second-class particles eventually collide is $(1+p)/3p$, where a_collision_ occurs when one of the particles attempts to jump over the other. This also corresponds to the probability that two ASEP processes, started from appropriate initial states and coupled using the so-called basic coupling, eventually reach the same state. We give various other results about the behaviour of second-class particles in the ASEP. In the totally asymmetric case ($p=1$) we explain a further representation in terms of a multi-type particle system, and also use the collision result to derive the probability of coexistence of both clusters in a two-type version of the corner growth model.

研究动机与目标

• 分析跳跃速率不对称的 ASEP 中第二类粒子的动力学行为。
• 确定在特定阶跃初始条件下，两个第二类粒子最终发生碰撞的概率。
• 将该碰撞概率与通过基本耦合机制连接的两个 ASEP 过程的耦合时间概率相联系。
• 将结果扩展至 $p=1$ 时的多类型粒子系统表示，并应用于角生长模型。
• 探讨粒子系统行为与流体动力学极限下伯奇尔斯方程稀疏扇形解之间的关系。

提出的方法

• 分析利用 ASEP 的流体动力学极限，该极限在给定初始条件下收敛于伯奇尔斯方程的稀疏扇形解。
• 论文采用两个 ASEP 过程的基本耦合方法，研究其达到相同状态所需的时间，并将其等同于第二类粒子的碰撞时间。
• 应用精确的组合与概率技术，计算系统中两个第二类粒子的碰撞概率。
• 对于完全不对称情形（$p=1$），引入多类型粒子系统表示，以更明确地建模粒子相互作用。
• 通过将碰撞概率与双类型生长过程中两簇共存的关系联系，将结果扩展至角生长模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 在给定初始构型下，ASEP 中两个第二类粒子最终发生碰撞的精确概率是多少？
• RQ2 第二类粒子的碰撞概率与通过基本耦合连接的两个 ASEP 过程的耦合时间概率之间有何关系？
• RQ3 ASEP 动力学与流体动力学极限下伯奇尔斯方程的稀疏扇形解之间存在何种联系？
• RQ4 在 $p=1$ 时，如何利用碰撞概率推导出双类型角生长模型中两簇的共存概率？
• RQ5 粒子类型（第一类、第二类、空位）在决定系统宏观行为中起什么作用？

主要发现

• 在 $p \in (1/2,1]$ 条件下，ASEP 中两个第二类粒子最终发生碰撞的概率精确为 $(1+p)/3p$。
• 该碰撞概率等价于通过基本耦合连接的两个 ASEP 过程最终达到相同状态的概率。
• 在完全不对称情形（$p=1$）下，系统存在一种多类型粒子系统表示，有助于分析粒子间的相互作用。
• 该碰撞结果使得能够推导出在 $p=1$ 时双类型角生长模型中两簇共存的概率。
• 在指定初始条件下，ASEP 的流体动力学极限收敛于伯奇尔斯方程的稀疏扇形解，与系统的宏观行为一致。