[论文解读] Crossings and Nestings for Arc-Coloured Permutations

Lily Yen|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2012

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 15被引用 7

一句话总结

本文建立了r-彩色排列中交叉与嵌套统计量的对称联合分布，将先前关于匹配和集合划分的结果推广至r-彩色排列。通过一种新颖的双射方法及基于转移矩阵的有限状态自动机建模，证明了j-非交叉、k-非嵌套、r-彩色排列的普通生成函数为有理函数，从而可通过Maple代码实现自动化计数，最多支持5种颜色。

ABSTRACT

The equidistribution of many crossing and nesting statistics exists in several combinatorial objects like matchings, set partitions, permutations, and embedded labelled graphs. The involutions switching nesting and crossing numbers for set partitions given by Krattenthaler, also by Chen, Deng, Du, Stanley, and Yan, and for permutations given by Burrill, Mishna, and Post involved passing through tableau-like objects. Recently, Chen and Guo for matchings, and Marberg for set partitions extended the result to coloured arc annotated diagrams. We prove that symmetric joint distribution continues to hold for arc-coloured permutations. As in Marberg's recent work, but through a different interpretation, we also conclude that the ordinary generating functions for all $j$-noncrossing, $k$-nonnesting, $r$-coloured permutations according to size $n$ are rational functions. We use the interpretation to automate the generation of these rational series for both noncrossing and nonnesting coloured set partitions and permutations.

研究动机与目标

• 将匹配和集合划分中交叉与嵌套统计量的对称等分布结果，推广至弧-彩色排列。
• 将Marberg（关于彩色集合划分）和Chen & Guo（关于彩色匹配）的有理生成函数结果，推广至r-彩色排列。
• 在保持颜色结构的前提下，构建j-交叉、k-嵌套排列与k-交叉、j-嵌套排列之间的构造性双射。
• 利用有限状态自动机与转移矩阵方法，自动化生成非交叉与非嵌套r-彩色排列的有理生成函数。

提出的方法

• 通过类似表格的结构与增强的交叉/嵌套定义，构建r-彩色排列中j-交叉、k-嵌套与k-交叉、j-嵌套之间的双射。
• 将r-彩色非交叉与非嵌套排列的状态空间建模为有限图，其中顶点表示按颜色划分的开放弧集合，边表示有效状态转移。
• 基于开放弧集合的对称差定义邻接矩阵，对角线元素表示环的数量，非对角线元素表示兼容的状态转移。
• 应用转移矩阵方法，通过计算矩阵子式的行列式之比，得到生成函数，结果为有理函数。
• 在Maple中实现该构造，利用递归状态分类与组合选择（combinat[choose]）构建集合划分与排列的邻接矩阵。
• 通过转移矩阵导出的有理函数进行级数展开，实现生成函数的自动化计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 r-彩色排列中交叉与嵌套统计量的对称联合分布是否如匹配与集合划分一样成立？
• RQ2 j-非交叉、k-非嵌套、r-彩色排列的普通生成函数是否为有理函数？
• RQ3 在r-彩色设定下，是否存在j-交叉、k-嵌套排列与k-交叉、j-嵌套排列之间的构造性双射？
• RQ4 r-彩色非交叉与非嵌套排列的状态空间是否可建模为有限自动机，以实现算法化计数？

主要发现

• 在r-彩色排列中建立了交叉与嵌套统计量的对称联合分布，推广了匹配与集合划分的结果。
• 证明了j-非交叉、k-非嵌套、r-彩色排列的普通生成函数为有理函数，将Marberg的结果推广至排列。
• 构造了一个双射，通过类似表格的变换交换交叉与嵌套数量，同时保持颜色结构与弧类型。
• 本文提供了生成r-彩色集合划分与排列状态图邻接矩阵的显式Maple代码，支持有理生成函数的自动化计算。
• 该方法成功计算了最多5种颜色的排列与7种颜色的集合划分的有理生成函数，矩阵规模最大达256×256。
• 对于r-彩色排列，邻接矩阵规模增长迅速——在5种颜色时达到252×252——由于矩阵行列式计算复杂度过高，超过此规模后计算变得不可行。