[论文解读] Crossings and Nestings of Two Edges in Set Partitions

Svetlana Poznanovik, Catherine H. Yan|ArXiv.org|Oct 9, 2007

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文建立了集合划分中交叉与嵌套的Klazar型等价关系，证明若两个划分在其划分树的前两层中交叉与嵌套分布完全相同，则该等价关系可推广至所有层级与所有块数。作者引入了一种新型集合划分上的树结构，结合生成函数与连分数，推导出交叉与嵌套联合生成函数的闭式连分数展开，将Klazar在匹配上的结果推广至具有任意块结构的一般集合划分。

ABSTRACT

Let $π$ and $λ$ be two set partitions with the same number of blocks. Assume $π$ is a partition of $[n]$. For any integer $l, m \geq 0$, let $\mathcal{T}(π, l)$ be the set of partitions of $[n+l]$ whose restrictions to the last $n$ elements are isomorphic to $π$, and $\mathcal{T}(π, l, m)$ the subset of $\mathcal{T}(π,l)$ consisting of those partitions with exactly $m$ blocks. Similarly define $\mathcal{T}(λ, l)$ and $\mathcal{T}(λ, l,m)$. We prove that if the statistic $cr$ ($ne$), the number of crossings (nestings) of two edges, coincides on the sets $\mathcal{T}(π, l)$ and $\mathcal{T}(λ, l)$ for $l =0, 1$, then it coincides on $\mathcal{T}(π, l,m)$ and $\mathcal{T}(λ, l,m)$ for all $l, m \geq 0$. These results extend the ones obtained by Klazar on the distribution of crossings and nestings for matchings.

研究动机与目标

• 将Klazar关于匹配中交叉与嵌套的结果推广至一般集合划分。
• 定义集合划分上的一种新无限树结构，该结构推广了匹配树，但保留了划分更丰富的块结构。
• 证明若两个划分在其各自树结构中第 $ l=0 $ 和 $ l=1 $ 层的交叉与嵌套统计量相同，则该等式对所有层级 $ l \geq 0 $ 与所有块数 $ m \geq 0 $ 均成立。
• 推导出以任意给定划分根的交叉与嵌套联合生成函数的连分数展开式。
• 利用Motzkin路径、Charlier图与二进制序列等组合工具，提供生成函数的显式公式。

提出的方法

• 定义一个以所有集合划分为节点的有根树 $\mathcal{T}(\Pi)$，其中若 $\pi$ 限制在 $\{2,\dots,n+1\}$ 上与 $\lambda$ 的 $[n]$ 上的划分顺序同构，则 $\pi$ 是 $\lambda$ 的子节点。
• 引入 $\mathcal{T}(\pi,l)$ 表示以 $\pi$ 为根的树中第 $l$ 层的划分集合，$\mathcal{T}(\pi,l,m)$ 表示该层中恰好有 $m$ 个块的划分集合。
• 使用生成函数 $b_{l,r}$ 编码 $\mathcal{T}(\pi,l)$ 中所有划分的 $cr(\lambda)\alpha + ne(\lambda)\beta$ 值的多重集，其递推关系涉及 $[r+1]_{q,p} = \frac{q^{r+1}-p^{r+1}}{q-p}$。
• 建立 $b_{l,r}$ 的递推关系：$b_{l,r} = b_{l-1,r-1} + (1 + [r+1]_{q,p})b_{l-1,r} + [r+1]_{q,p}b_{l-1,r+1}$，通过加权路径计数连接不同层级。
• 通过建模从 $(l,0)$ 到 $(0,s)$ 的路径，使用步长 $(-1,0)$、$(-1,1)$、$(-1,-1)$，并根据 $[r+1]_{q,p}$ 与 $1+[r+1]_{q,p}$ 赋予权重，将生成函数 $S_\pi(q,p,z)$ 与连分数联系起来。
• 推导出连分数展开式 $S_\pi(q,p,z) = \sum_{s=0}^{k-1} b_{0,s} K_s(z)$，其中 $K_s(z)$ 是包含 $[r]_{q,p}$ 与 $[r]_{q,p}+1$ 系数的连分数。

实验结果

研究问题

• RQ1 若两个集合划分 $\pi$ 与 $\lambda$ 在其各自树结构的 $l=0$ 与 $l=1$ 层具有相同的交叉与嵌套数量，则该等式是否对所有层级 $l \geq 0$ 与所有块数 $m \geq 0$ 成立？
• RQ2 以给定 $\pi$ 为根的划分中，交叉与嵌套的联合生成函数能否表示为连分数形式？
• RQ3 对于具有 $k$ 个块的划分 $\pi$，其生成函数 $S_\pi(q,p,z)$ 的结构如何？它如何依赖于块贡献序列 $x_i = u_i\alpha + v_i\beta$？
• RQ4 Motzkin路径与二进制序列等组合对象如何编码 $b_{l,r}$ 的递推关系与生成函数结构？
• RQ5 是否存在不同连分数形式之间全生成函数的变换？若存在，其背后的恒等式是什么？

主要发现

• 若在 $\mathcal{T}(\pi,l)$ 与 $\mathcal{T}(\lambda,l)$ 上 $cr$ 与 $ne$ 统计量在 $l=0,1$ 时相同，则对所有 $l,m \geq 0$，在 $\mathcal{T}(\pi,l,m)$ 与 $\mathcal{T}(\lambda,l,m)$ 上也相同，建立了强不变性性质。
• 生成函数 $S_\pi(q,p,z) = \sum_{l \geq 0} b_{l,0} z^l$ 允许连分数展开 $S_\pi(q,p,z) = \sum_{s=0}^{k-1} b_{0,s} K_s(z)$，其中 $K_s(z)$ 是包含系数 $[r+1]_{q,p}$ 与 $1 + [r+1]_{q,p}$ 的连分数。
• 对于单块划分 $\pi = \{1\}$，生成函数简化为 $S_{\{1\}}(q,p,z) = \cfrac{1}{1 - ([1]_{q,p}+1)z - \cfrac{[1]_{q,p}z^2}{1 - ([2]_{q,p}+1)z - \cfrac{[2]_{q,p}z^2}{\ddots}}}$。
• 所有集合划分上的全生成函数为 $\sum_{n \geq 0} \sum_{\lambda \in \Pi_n} q^{cr(\lambda)} p^{ne(\lambda)} z^n = 1 + \cfrac{z}{1 - ([1]_{q,p}+1)z - \cfrac{[1]_{q,p}z^2}{1 - ([2]_{q,p}+1)z - \cfrac{[2]_{q,p}z^2}{\ddots}}}$。
• $b_{l,r}$ 的生成函数满足涉及 $[r+1]_{q,p}$ 的递推关系，该关系允许通过加权格路计数构造连分数。
• 连分数形式 (5.5) 与 (5.6) 在已知的压缩公式下等价，表明不同参数化下生成函数的一致性。