[论文解读] Cryptographic Distinguishability Measures for Quantum Mechanical States

Christopher A. Fuchs, Jeroen van de Graaf|ArXiv.org|Dec 18, 1997

Quantum Information and Cryptography参考文献 27被引用 28

一句话总结

本文引入并关联了四种基于经典统计可区分性的量子可区分性度量——错误概率、迹距离（柯尔莫哥洛夫距离）、巴塔查里亚系数和香农可区分性。文中建立了它们之间的关键不等式，表明一种度量下的指数不可区分性意味着所有其他度量下也具有指数不可区分性，这对证明量子密码协议（如量子密钥分发）的安全性至关重要。

ABSTRACT

This paper, mostly expository in nature, surveys four measures of distinguishability for quantum-mechanical states. This is done from the point of view of the cryptographer with a particular eye on applications in quantum cryptography. Each of the measures considered is rooted in an analogous classical measure of distinguishability for probability distributions: namely, the probability of an identification error, the Kolmogorov distance, the Bhattacharyya coefficient, and the Shannon distinguishability (as defined through mutual information). These measures have a long history of use in statistical pattern recognition and classical cryptography. We obtain several inequalities that relate the quantum distinguishability measures to each other, one of which may be crucial for proving the security of quantum cryptographic key distribution. In another vein, these measures and their connecting inequalities are used to define a single notion of cryptographic exponential indistinguishability for two families of quantum states. This is a tool that may prove useful in the analysis of various quantum cryptographic protocols.

研究动机与目标

• 定义并关联与量子密码学相关的四种量子可区分性度量，其基础为经典统计可区分性。
• 建立这些量子度量之间的严格数学不等式，以实现对量子态判别的比较分析。
• 证明一种度量下的指数不可区分性可推出所有其他度量下也具有指数不可区分性，从而确保协议安全分析的鲁棒性。
• 提供工具以量化量子态族之间的可区分程度，从而分析量子密码协议的安全性。
• 通过迹距离和巴塔查里亚系数推导可区分性度量的界，以支持量子密钥分发的安全性证明。

提出的方法

• 采用基于量子测量的可区分性方法，摒弃任意矩阵范数，转而使用统计基础坚实的度量。
• 将四种量子可区分性度量定义为经典度量的量子推广：错误概率、迹范数距离（柯尔莫哥洛夫距离）、巴塔查里亚系数（乌尔曼的转移概率）和香农可区分性（互信息）。
• 推导关键不等式：$\texttt{SD}(\rho_0,\rho_1) \leq \frac{1}{2}\mathrm{Tr}|\rho_0 - \rho_1|$，将香农可区分性与迹距离联系起来。
• 利用量子态的分块对角结构（例如，$\rho_0^{(n)} = \bigoplus_k \rho_{(0,k)}$）简化多量子比特下可区分性度量的计算。
• 应用分解式 $\texttt{B}(\sigma_0, \sigma_1) = \texttt{B}(\sigma_0^u, \sigma_1^u) + \texttt{B}(\sigma_0^l, \sigma_1^l)$ 计算复合态的巴塔查里亚系数。
• 通过 $n=2$ 量子比特的显式例子说明界，计算 $\texttt{B}(\rho_0^{(2)}, \rho_1^{(2)}) = |C|$ 和 $\texttt{SD}(\rho_0^{(2)}, \rho_1^{(2)})$，其中 $C = \cos 2\alpha$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以物理上有意义的方式将经典可区分性度量推广到量子态？
• RQ2 四种量子可区分性度量（错误概率、迹距离、巴塔查里亚系数和香农可区分性）之间的数学关系是什么？
• RQ3 在一种可区分性度量下实现的指数不可区分性，是否意味着在其他度量下也成立？
• RQ4 可以推导出哪些紧致界，特别是针对量子密钥分发中的安全证明？
• RQ5 如何高效计算和界定结构化量子态（如具有 $2\times2$ 块的分块对角态）的可区分性？

主要发现

• 本文建立了不等式 $\texttt{SD}(\rho_0, \rho_1) \leq \frac{1}{2}\mathrm{Tr}|\rho_0 - \rho_1|$，为香农可区分性提供了以迹距离表示的有用上界。
• 对于 $n=2$，$\rho_0^{(2)}$ 与 $\rho_1^{(2)}$ 之间的巴塔查里亚系数为 $|C|$，其中 $C = \cos 2\alpha$，表明其与底层量子比特态之间夹角的直接依赖关系。
• 对于 $n=2$，香农可区分性为 $\texttt{SD}(\rho_0^{(2)}, \rho_1^{(2)}) = \frac{1}{2}(1+C^2)I_2\left(\frac{C^2}{1+C^2}\right) + \frac{S^2}{2}$，其中 $S = \sin 2\alpha$。
• 对于 $n=2$，巴塔查里亚系数的界是紧致的，因为函数 $2\sqrt{x(1-x)}$ 对二元熵函数 $\mathtt{H}_2(x)$ 有良好逼近。
• 由于推导出的不等式，一种度量下的指数不可区分性可推出所有其他度量下也具有指数不可区分性，从而确保了度量间的等价性。
• 由于 $\rho_0^{(n)}$ 和 $\rho_1^{(n)}$ 的分块对角结构，巴塔查里亚系数可表示为对各个 $2\times2$ 块的求和，从而实现了多量子比特态下可区分性度量的高效计算。