[论文解读] Crystallographic groups and flat manifolds from complex reflection groups

Iván Marín|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用 13

一句话总结

本文将辫子群的构造推广至复反射群，证明其广义辫子群 $B$ 关于其纯辫子群 $P$ 的换位子群的商群 $B/(P,P)$ 总是无 2-挠的晶体学群。该结果使得可通过商群 $W/Z(W)$ 中 2-子群的原像系统构造 Bieberbach 群（从而得到紧致平坦流形），并提供了判断此类流形是否具有 Kähler 结构的准则。

ABSTRACT

Following an idea of Gon\\c{c}alvez, Guaschi and Ocampo on the usual braid group we construct crystallographic and Bieberbach groups as (sub)quotients of the generalized braid group associated to an arbitrary complex reflection group.

研究动机与目标

• 将 Gonçalves、Guaschi 与 Ocampo 在辫子群上的结果推广至复反射群的广义辫子群。
• 证明广义辫子群 $B$ 关于其纯辫子群 $P$ 的换位子群的商群 $B/(P,P)$ 总是无 2-挠的晶体学群。
• 通过 $W/Z(W)$ 中 2-子群的原像，提供一种系统构造 Bieberbach 群（从而得到紧致平坦流形）的方法。
• 利用 Springer 的正则元素理论刻画 $B/(P,P)$ 中有限阶元素，并引入“自由正则数”的概念。
• 通过分析 2-子群的霍洛诺米表示与特征表，确定所得平坦流形具有 Kähler 结构的条件。

提出的方法

• 利用复反射群 $W$ 关联的广义辫子群 $B$，其定义为反射超平面补集的基本群。
• 构造商群 $B/(P,P)$，其中 $P$ 为纯辫子群，并证明其满足短正合列 $1 \to \mathbb{Z}^N \to B/(P,P) \to W \to 1$，从而证明其为晶体学群。
• 利用正则数的性质及与 $P$ 的阿贝尔化相关的整数 $\kappa(W)$，证明 $B/(P,P)$ 不含阶为 2 的元素。
• 应用如下准则：若群无 $p$-挠，则其在霍洛诺米商群中任意 $p$-子群的原像为无挠群，从而得到 Bieberbach 群。
• 利用 Springer 的正则元素理论分类 $B/(P,P)$ 中的有限阶元素，定义‘自由正则数’为这些元素的阶。
• 通过分析霍洛诺米表示判断 Kähler 条件：若复维数为偶数，且正交/实不可约分量的重数均为偶数，则平坦流形为 Kähler。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将从辫子群构造晶体学群与 Bieberbach 群的方法推广至复反射群？
• RQ2 广义辫子群 $B$ 关于其纯辫子群 $P$ 的换位子群的商群 $B/(P,P)$ 是否总是无 2-挠的晶体学群？
• RQ3 $B/(P,P)$ 中元素的可能有限阶为何？其与群结构及 $\kappa(W)$ 的关系如何？
• RQ4 在何种条件下，与 $B/(P,P)$ 关联的平坦流形具有 Kähler 结构？
• RQ5 哪些例外复反射群可通过此构造产生 Kähler 平坦流形？

主要发现

• 对任意复反射群 $W$，商群 $B/(P,P)$ 总是晶体学群，推广了辫子群的结果。
• $B/(P,P)$ 不含阶为 2 的元素，确保 $W/Z(W)$ 中任意 2-子群的原像可生成无挠 Bieberbach 群。
• 对例外群 $G_5, G_6, G_9, G_{13}, G_{17}, G_{18}, G_{21}, G_{25}$，该构造分别产生实维数为 8, 10, 18, 18, 42, 32, 50, 12 的 Kähler 流形。
• 对二面体型群 $W = I_2(2m)$ 且 $m \geq 3$ 为奇数的情形，对任意由反射生成的 2-子群，构造均产生 Kähler 流形，因其在反射超平面集上的作用性质。
• $G_6$ 与霍洛诺米群 $\mathfrak{A}_4$ 关联的平坦流形为 Kähler，而 $G_4$ 的对应流形即使对 2-西罗子群也非 Kähler。
• ‘自由正则数’——即 $B/(P,P)$ 中有限阶元素的阶——已通过 $\kappa(W)$ 完全刻画，且这些数恒与 $\kappa(W)$ 互素。