[论文解读] CSS-T Codes from Reed Muller Codes

Emma Andrade, Jessalyn Bolkema+5 more|arXiv (Cornell University)|May 10, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 6

一句话总结

本文从 Reed-Muller 码构造 CSS-T 码，实现高达 1/2 的非消失渐近速率，从而实现恒定开销的魔法态蒸馏。通过利用 Reed-Muller 码的删减与截短，作者推导出一族最小距离发散且渐近速率 Φ(−2c)（对任意 c ∈ ℕ）的 CSS-T 码，解决了量子容错计算中渐近性能的一个开放问题。

ABSTRACT

CSS-T codes are a class of stabilizer codes introduced by Rengaswamy \emph{et al} with desired properties for quantum fault-tolerance. In this work, we comprehensively study non-degenerate CSS-T codes built from Reed-Muller codes. These classical codes allow for constructing CSS-T code families with nonvanishing asymptotic rates up to $\frac{1}2$ and possibly diverging minimum distance when non-degenerate.

研究动机与目标

• 解决构造具有非消失渐近速率和相对距离的 CSS-T 码以实现恒定开销魔法态蒸馏的开放问题。
• 表征由 Reed-Muller 码导出的、实现非消失渐近速率的 CSS-T 码族。
• 建立 Reed-Muller 码在相对距离消失的情况下仍能生成最小距离发散的 CSS-T 码的条件。
• 提出一种系统化构造方法，通过 Reed-Muller 码的删减与截短生成最优的 CSS-T 码族。
• 证明此类码族的渐近速率可通过参数 c 调节，对任意 c ∈ ℕ 实现 Φ(−2c)

提出的方法

• 在 CSS 构造中使用 Reed-Muller 码 RM(r₁, m) 和 RM(r₂, m) 分别作为经典码 C₁ 和 C₂，其中 r₁ = ⌊(m−1)/2⌋ − t(m) 且 r₂ = 2t(m)+1（当 m 为奇数时为 2t(m)）。
• 对 Reed-Muller 码应用删减与截短操作，以满足 CSS-T 码的条件：C₂ 为偶码，且对每个 x ∈ C₂，存在在 C₁⊥ 上支撑的自对偶码。
• 通过双码与码字支撑的代数条件，证明所得 CSS 码族满足 CSS-T 码的定义。
• 利用正态累积分布函数 Φ 分析渐近速率，当 t(m) = ⌊c√m⌋ 时，速率为 Φ(−2c)。
• 建立最小距离下界 d ≥ 2^{r₂(m)+1}，由于 r₂(m) 随 m 增大而增长，该下界随 m 增大而发散。
• 使用 CSS 码的维数公式：k = dim(C₁) − dim(C₂)，并将渐近速率表示为 lim_{m→∞} (dim(C₁) − dim(C₂))/2^m

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从 Reed-Muller 码构造出具有非消失渐近速率与发散最小距离的 CSS-T 码族？
• RQ2 Reed-Muller 码的参数需满足何种条件，才能使生成的 CSS 码满足 CSS-T 码的定义？
• RQ3 当度参数按 t(m) = ⌊c√m⌋ 缩放时，由 Reed-Muller 码构建的 CSS-T 码的渐近速率是多少？
• RQ4 该构造能否在相对距离消失的情况下仍生成最小距离发散的码族？
• RQ5 t(m) 的选择如何影响生成的 CSS-T 码在渐近速率与最小距离之间的权衡？

主要发现

• 当 t(m) = ⌊c√m⌋ 时，从 Reed-Muller 码构造的 CSS-T 码族实现非消失渐近速率 Φ(−2c)，对任意 c ∈ ℕ 成立。
• 所构造的 CSS-T 码的最小距离满足 d ≥ 2^{r₂(m)+1}，由于 r₂(m) 随 m 增大而增长，该值随 m 增大而发散。
• 当 t(m) = 0 时，该构造生成的 CSS-T 码族具有渐近速率 Φ(0) = 1/2，达到理论可能的最大速率。
• 当 t(m) = ⌊am⌋ 且 0 < a < 1/8 时，渐近速率消失，但最小距离仍发散。
• 该构造推广并包含了已知示例（包括文献 [11] 提出的家族），通过提供统一的参数化框架实现。
• 该码族的渐近相对距离消失，但最小距离发散，符合 [2] 中关于恒定开销魔法态蒸馏的条件。