[论文解读] Cubical Categories for Higher-Dimensional Parametricity

Patricia Johann, Kristina Sojakova|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2017

Logic, programming, and type systems参考文献 12被引用 6

一句话总结

本文引入p维立方范畴，以将System F中的Reynolds关系参数性推广至所有有限及无限维度。它构建了一个统一框架，其中类型被解释为保持面映射与退化映射的立方函子，项被解释为立方自然变换，从而产生可分裂的λ2纤维化，恢复已知模型（如Reynolds的模型和PER模型）作为1维实例，并推导出关键参数性结果的高维类比。

ABSTRACT

Reynolds' theory of relational parametricity formalizes parametric polymorphism for System F, thus capturing the idea that polymorphically typed System F programs always map related inputs to related results. This paper shows that Reynolds' theory can be seen as the instantiation at dimension 1 of a theory of relational parametricity for System F that holds at all higher dimensions, including infinite dimension. This theory is formulated in terms of the new notion of a p-dimensional cubical category, which we use to define a p-dimensional parametric model of System F for any p, where p is a natural number or infinity. We show that every p-dimensional parametric model of System F yields a split $λ$ 2-fibration in which types are interpreted as face map- and degeneracy-preserving cubical functors and terms are interpreted as face map- and degeneracy-preserving cubical natural transformations. We demonstrate that our theory is "good" by showing that the PER model of Bainbridge et al. is derivable as another 1-dimensional instance, and that all instances at all dimensions derive higher-dimensional analogues of expected results for parametric models, such as a Graph Lemma and the existence of initial algebras and final coalgebras. Finally, our technical development resolves a number of significant technical issues arising in Ghani et al.'s recent bifibrational treatment of relational parametricity, which allows us to clarify their approach and strengthen their main result. Once clarified, their bifibrational framework, too, can be seen as a 1-dimensional instance of our theory.

研究动机与目标

• 将Reynolds对System F的关系参数性从维度1扩展至所有有限及无限维度。
• 通过引入更一般且可实例化的理论，解决Ghani等人双纤维化框架中的技术缺陷。
• 使用立方范畴形式化高维参数性，包括证明相关与无限维情形。
• 证明已知参数模型（如Reynolds的模型和PER模型）在维度1下是新理论的恰当实例。
• 推导基本参数性结果的高维类比，如图灵引理及初等代数与终余代数的存在性。

提出的方法

• 引入p维立方范畴的概念，作为立方集向高维的推广。
• 通过保持面映射与退化映射的立方函子定义System F的p维参数模型（类型），并通过自然变换定义项（项）。
• 构建分裂λ2纤维化，其中基范畴捕捉类型，全范畴捕捉关系，且结构在面映射与退化映射下保持不变。
• 通过将它们嵌入为1维实例，证明该框架涵盖现有模型，包括Reynolds的原始模型和PER模型。
• 使用内部范畴理论澄清并强化Ghani等人双纤维化方法，表明其同样是新理论的1维实例。
• 通过立方结构证明该理论支持参数性定理的高维推广，如图灵引理及初等/终（余）代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 Reynolds对System F的关系参数性能否自然地扩展至维度1以上的高维？
• RQ2 如何构建一个统一且可实例化的参数模型框架，使其能恰当包含PER模型和Reynolds原始模型等已知模型？
• RQ3 立方结构在建模高维参数性中起什么作用，特别是在保持关系与自然变换方面？
• RQ4 Ghani等人双纤维化框架能否通过高维立方方法与关系参数性理论完全统一？
• RQ5 无限维参数性有何含义？它与同伦类型论及同伦正规性猜想有何关联？

主要发现

• 该理论成功地将Reynolds的1维关系参数性推广至所有维度p ∈ ℕ ∪ {∞}，包括无限维情形。
• 证明了Bainbridge等人提出的PER模型与Reynolds的原始模型均为新立方框架的恰当1维实例。
• 该框架导出了关键参数性结果的高维类比，如图灵引理，以及正类型表达式的初等代数与终余代数的存在性。
• 通过证明Ghani等人双纤维化框架是新理论的1维实例，澄清并强化了其理论，解决了此前关于函子与自然变换保持性方面的技术问题。
• 该理论支持维度2下的证明相关参数性，为在依赖类型论中形式化高维一致性提供了可能路径。
• 该框架为未来探索无限维参数性及其与同伦类型论中同伦正规性猜想的联系奠定了基础。