[论文解读] Cubical-like geometry of quasi-median graphs and applications to geometric group theory

Anthony Genevois|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2017

Advanced Graph Theory Research被引用 27

一句话总结

本文将拟中位图（quasi-median graphs）作为CAT(0)立方复形的推广，并证明其几何性质完全由超平面的组合结构决定。本文建立了一个框架，基于团稳定子群的性质，推导出作用于这些图上的群的全局几何性质——如双曲性、CAT(0)几何、立方性及ℓp-压缩性。其核心贡献是一个通用判据：若一个群在拟中位图上适当作用，且其团稳定子群满足某种非正曲率性质P，则整个群也满足性质P。

ABSTRACT

The class of quasi-median graphs is a generalisation of median graphs, or equivalently of CAT(0) cube complexes. The purpose of this thesis is to introduce these graphs in geometric group theory. In the first part of our work, we extend the definition of hyperplanes from CAT(0) cube complexes, and we show that the geometry of a quasi-median graph essentially reduces to the combinatorics of its hyperplanes. In the second part, we exploit the specific structure of the hyperplanes to state combination results. The main idea is that if a group acts in a suitable way on a quasi-median graph so that clique-stabilisers satisfy some non-positively curved property $\mathcal{P}$, then the whole group must satisfy $\mathcal{P}$ as well. The properties we are interested in are mainly (relative) hyperbolicity, (equivariant) $\ell^p$-compressions, CAT(0)-ness and cubicality. In the third part, we apply our general criteria to several classes of groups, including graph products, Guba and Sapir's diagram products, some wreath products, and some graphs of groups. Graph products are our most natural examples, where the link between the group and its quasi-median graph is particularly strong and explicit; in particular, we are able to determine precisely when a graph product is relatively hyperbolic.

研究动机与目标

• 将CAT(0)立方复形的几何与组合工具推广至更广泛的拟中位图类。
• 证明拟中位图的几何性质完全编码于其超平面结构之中。
• 建立一个通用判据，将非正曲率性质（如双曲性、CAT(0)、立方性）从团稳定子群传递至整个群，前提是群作用满足适当条件。
• 将该框架应用于具体群类，特别是图积与图示群，以确定其几何与代数性质。

提出的方法

• 将CAT(0)立方复形中的超平面与扇形概念推广至拟中位图，通过边上的等价关系定义它们。
• 引入栅格子图与投影，以分析拟中位图中的凸性与凸包。
• 定义并研究栅格包络、柱体与平坦矩形，以理解局部与全局几何。
• 在拟中位图上引入一个典范度量δ₁，并研究保持该结构的群作用。
• 应用墙空间与立方化理论，将群在拟中位图上的作用与ℓp-压缩性及a-T-menability联系起来。
• 通过超平面的膨胀构造新的拟中位图，并利用扭曲图积与图群分解分析群作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 何时一个群的图积是相对双曲的？
• RQ2 在何种条件下，作用于拟中位图的群会继承双曲性、CAT(0)或立方性？
• RQ3 能否从团稳定子群的压缩性确定作用于拟中位图的群的ℓp-压缩性？
• RQ4 一个双序化的图示群的积是否一定是双序化的？
• RQ5 何时扭曲图积或右角图群会作用于拟中位图并具有特殊作用？

主要发现

• 当且仅当其底层图是树且无顶点群为平凡群时，一个图积是相对双曲的。
• 右角图群的基本群作用于拟中位图，且该作用为特殊作用当且仅当超平面稳定子群是重合子。
• 若其底层图示群是剩余有限的，则有限群的图示积是剩余有限的。
• 在拟中位图上具有旋转作用的群可分解为扭曲图积，提示该构造的逆命题可能成立。
• 在等变条件下，作用于拟中位图的群的ℓp-压缩性下界由其团稳定子群的最小ℓp-压缩性决定。
• 笛卡尔群立方体的基本群在拟中位图上具有主题传递作用，且当单射为典范嵌入时，该作用为特殊作用。