[论文解读] Cubical sets and the topological topos

Bas Spitters|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文证明了立方集分类平坦分配格，通过拓扑拓扑范畴实现了立方集的几何实现。它在立方集范畴中构建了同伦类型论中等价类型的摩尔路径模型，并利用内部因子分解系统在纤维立方集上建立了预模型结构，推进了立方类型论与同伦类型论基础语义学的发展。

ABSTRACT

Coquand's cubical set model for homotopy type theory provides the basis for a computational interpretation of the univalence axiom and some higher inductive types, as implemented in the cubical proof assistant. This paper contributes to the understanding of this model. We make three contributions: 1. Johnstone's topological topos was created to present the geometric realization of simplicial sets as a geometric morphism between toposes. Johnstone shows that simplicial sets classify strict linear orders with disjoint endpoints and that (classically) the unit interval is such an order. Here we show that it can also be a target for cubical realization by showing that Coquand's cubical sets classify the geometric theory of flat distributive lattices. As a side result, we obtain a simplicial realization of a cubical set. 2. Using the internal `interval' in the topos of cubical sets, we construct a Moore path model of identity types. 3. We construct a premodel structure internally in the cubical type theory and hence on the fibrant objects in cubical sets.

研究动机与目标

• 澄清科瓦朗德立方集模型在同伦类型论中的逻辑与范畴论基础。
• 证明立方集范畴是平坦分配格的分类范畴，扩展约翰斯顿的拓扑范畴框架。
• 利用立方集范畴中的内部区间对象，构建同伦类型论中等价类型的摩尔路径模型。
• 通过两种内部因子分解系统（Gambino-Garner系统与展示映射系统）在纤维立方集上建立预模型结构。
• 为立方集的内部类型论提供一种统一且函子性的因子分解系统，适用于同伦类型论中的同伦基础。

提出的方法

• 利用有限分配格与有限偏序集之间的斯通对偶性，证明立方集分类平坦分配格。
• 应用劳弗弗理论对偶性，证明立方范畴是有限集上自由分配格函子的克莱斯利范畴。
• 从平坦分配格构造立方集范畴中的余立方对象，实现几何实现。
• 利用立方集范畴中的内部区间对象定义摩尔路径，其判断计算规则满足 J 消去规则的要求。
• 引入两种内部因子分解系统：一种通过函数图的 Gambino-Garner 构造，另一种通过展示映射。
• 通过验证弱等价的 3-for-2 闭包性以及纤维与纤维的正交分解，建立预模型结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 立方集范畴与平坦分配格的分类范畴之间有何关系？
• RQ2 能否在立方集范畴的内部语言中，利用内部区间对象构造同伦类型论中等价类型的摩尔路径模型？
• RQ3 能否通过内部类型论构造在立方集范畴的纤维对象上建立预模型结构？
• RQ4 Gambino-Garner 因子分解系统与展示映射系统如何协同形成预模型结构？
• RQ5 平坦性与过滤列极限在立方集作为分配格理论模型的分类中起什么作用？

主要发现

• 立方集范畴分类平坦分配格，推广了约翰斯顿对单纯集的结果。
• 作为对偶性的副产品，通过分配格与有限偏序集之间的对偶性，得到了立方集的单纯实现。
• 在立方集范畴的内部语言中构建了同伦类型论中等价类型的摩尔路径模型，其 J 消去规则满足判断计算规则。
• 纤维立方集上存在预模型结构，其中纤维化定义为对平凡纤维化具有左提升性质的映射。
• 弱等价满足 3-for-2 性质，并对重言式封闭，符合预模型结构的要求。
• 两种因子分解系统——Gambino-Garner 与展示映射——结合后形成预模型结构，其中平凡纤维化被定义为既是展示映射又是等价的映射。