[论文解读] Cuf products and cuf sums of (quasi)-metrizable spaces in $\mathbf{ZF}$

Kyriakos Keremedis, Eliza Wajch|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2020

Advanced Topology and Set Theory参考文献 28被引用 4

一句话总结

本文研究在没有选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论中，弱选择公理与准度量化的相互作用。在 ZF 中，可数个余有限 cuf（可数个有限集的并）或可数集空间的乘积是准度量化的，当且仅当所有可数个 cuf 集的并仍是 cuf。本文构建了一个 ZF 模型，其中可数个二点 Hausdorff 紧化空间的乘积是第一可数的但不是准度量化的，从而在弱选择公理下展示了广义拓扑学中的独立性结果。

ABSTRACT

A cuf space (set, resp.) is a space (set, resp.) which is a countable union of finite subspaces (subsets, resp.). It is proved in $\mathbf{ZF}$ (with the absence of the axiom of choice) that all countable unions of cuf (denumerable, resp.) sets are cuf sets iff all countable products of cofinite cuf (denumerable, resp.) spaces are quasi-metrizable iff all countable products of one-point Hausdorff compactifications of infinite cuf (denumerable, resp.) spaces are quasi-metrizable. A countable product of one-point Hausdorff compactifications of denumerable discrete spaces is first-countable iff it is quasi-metrizable. A model of $\mathbf{ZF}$ is shown in which a countable product two-point Hausdorff compactifications of denumerable discrete spaces is first-countable without being quasi-metrizable. Other relevant independence results are also proved.

研究动机与目标

• 在策梅洛-弗兰克尔集合论中，研究弱选择公理在决定可数个（准）度量空间乘积的准度量化性质中的作用。
• 厘清所有可数个 cuf 集的并仍是 cuf 的命题，与余有限 cuf 或可数集空间乘积的准度量化之间的逻辑关系。
• 通过构造一个 ZF 模型，其中可数个二点 Hausdorff 紧化空间的乘积是第一可数的但不是准度量化的，建立独立性结果。
• 研究在缺乏选择公理时，紧 Hausdorff 准度量空间在何种条件下成为度量空间。

提出的方法

• 以 ZF 集合论为基本框架，避免使用选择公理，分析 cuf（可数个有限集的并）集合及其乘积的拓扑性质。
• 应用 cuf 空间和 cuf 和的概念，以在拓扑语境中刻画可数个有限集或可数集的并。
• 利用离散空间的一点 Hausdorff 紧化概念，构造反例并分析拓扑性质。
• 利用 Loeb 函数和可数选择公理（CAC），证明在 ZF 中，紧致、Hausdorff、准度量化的 Loeb 空间是度量化的。
• 构造一个特定的 ZF 模型，其中可数个二点 Hausdorff 紧化空间的乘积是第一可数的但不是准度量化的，从而表明其独立于标准选择公理。
• 分析与准度量相关的双拓扑空间，使用诱导拓扑 τ(d) 及其共轭拓扑 τ(d⁻¹)，研究度量化与可分性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 ZF 中，所有可数个 cuf 集的并仍是 cuf 的命题，是否与所有可数个余有限 cuf 空间的乘积是准度量化的命题逻辑等价？
• RQ2 在 ZF 中，可数个可数离散空间的一点 Hausdorff 紧化空间的乘积是第一可数的，是否意味着其是准度量化的？
• RQ3 能否构造一个 ZF 模型，使得可数个二点 Hausdorff 紧化空间的乘积是第一可数的但不是准度量化的？
• RQ4 在缺乏选择公理时，紧 Hausdorff 准度量空间在何种条件下成为度量空间？
• RQ5 在 ZF 中，Loeb 性质是否足以保证紧 Hausdorff 准度量空间是度量化的？

主要发现

• 在 ZF 中，所有可数个 cuf（或可数）集的并是 cuf，当且仅当所有可数个余有限 cuf（或可数）空间的乘积是准度量化的。
• 可数个可数离散空间的一点 Hausdorff 紧化空间的乘积是第一可数的，当且仅当它是准度量化的。
• 构造了一个 ZF 模型，其中可数个可数离散空间的二点 Hausdorff 紧化空间的乘积是第一可数的但不是准度量化的，表明在 ZF 中第一可数性不蕴含准度量化。
• 在 ZF 中，每个紧致、Hausdorff、准度量化的 Loeb 空间都是度量化的，且 Loeb 性质蕴含其共轭拓扑的可分性。
• 可数选择公理（CAC）在 ZF 中蕴含每个紧致、Hausdorff、准度量化的空间都是度量化的。
• 对于紧致、Hausdorff、准度量化的空间，在 ZF 中以下命题等价：是 Loeb 空间，其共轭拓扑可分，是第二可数的，以及是度量化的。