[论文解读] Cumulants, Spreadability and the Campbell-Baker-Hausdorff Series

Takahiro Hasebe, Franz Lehner|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2017

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 69被引用 4

一句话总结

本文引入了可扩展性系统作为统一非交换概率中各种独立性概念与矩量累积量的通用框架，包括缺乏交换性的单调独立性。通过在有序集合划分上发展广义的zeta函数和Möbius函数，并证明Faà di Bruno定理的一个变体，作者推导出的累积量恢复了已知系统，并表明Campbell-Baker-Hausdorff级数自然地作为特定可扩展性系统中累积量的和出现，从而为Goldberg系数提供了新的推导。

ABSTRACT

We define spreadability systems as a generalization of exchangeability systems in order to unify various notions of independence and cumulants known in noncommutative probability. In particular, our theory covers monotone independence and monotone cumulants which do not satisfy exchangeability. To this end we study generalized zeta and Möbius functions in the context of the incidence algebra of the semilattice of ordered set partitions and prove an appropriate variant of Faa di Bruno's theorem. With the aid of this machinery we show that our cumulants cover most of the previously known cumulants. Due to noncommutativity of independence the behaviour of these cumulants with respect to independent random variables is more complicated than in the exchangeable case and the appearance of Goldberg coefficients exhibits the role of the Campbell-Baker-Hausdorff series in this context. In a final section we exhibit an interpretation of the Campbell-Baker-Hausdorff series as a sum of cumulants in a particular spreadability system, thus providing a new derivation of the Goldberg coefficients.

研究动机与目标

• 将基于交换性的累积量理论推广至包含非交换独立性（如单调独立性）的情形。
• 利用有序集合划分上的关联代数，发展组合框架以定义广义的zeta函数和Möbius函数。
• 在一个统一的理论结构中统一已知的累积量系统——经典、自由、布尔、单调——以及条件自由。
• 表明Campbell-Baker-Hausdorff级数自然地作为特定可扩展性系统中累积量的和出现。
• 通过在unshuffle可扩展性系统中基于累积量展开，为Goldberg系数提供一种新的推导。

提出的方法

• 将可扩展性系统引入为交换性的推广，允许非对称的独立关系。
• 在有序集合划分的半格上定义广义的zeta函数和Möbius函数，使用阶乘归一化以处理块的置换。
• 为有序集合划分的关联代数证明Faà di Bruno定理的一个变体，以实现非交换设定下的矩量-累积量反演。
• 通过阶乘Möbius反演构造累积量，确保其唯一性与已知公理的一致性。
• 特化到unshuffle可扩展性系统，将Campbell-Baker-Hausdorff级数与累积量展开联系起来。
• 利用拟乘法函数和卷积恒等式，推导CBH展开中系数的结构，包括Goldberg系数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在如单调独立性等非交换独立性系统中，累积量如何被一致地定义？
• RQ2 非交换设定下矩量-累积量公式背后的组合结构是什么？
• RQ3 Campbell-Baker-Hausdorff级数如何从可扩展性系统中的累积量展开中自然出现？
• RQ4 Goldberg系数在非交换累积量展开中独立随机变量的和中起什么作用？
• RQ5 unshuffle可扩展性系统能否为Campbell-Baker-Hausdorff公式中的系数提供一种新的、内在的推导？

主要发现

• 本文通过在有序集合划分的偏序集中使用阶乘Möbius反演，为可扩展性系统构造了累积量，确保了其唯一性，并与已知的矩量-累积量公式保持一致。
• 在有序集合划分上定义的广义zeta函数和Möbius函数满足Faà di Bruno定理的一个变体，从而在非交换设定下实现了矩量-累积量反演。
• unshuffle可扩展性系统将Campbell-Baker-Hausdorff级数实现为累积量的和，从而为该级数提供了新的组合推导。
• Goldberg系数在Campbell-Baker-Hausdorff展开中被证明自然地作为unshuffle系统中独立随机变量和的累积量展开中的系数出现。
• 该框架在一个统一的结构中恢复了所有已知的累积量系统——经典、自由、布尔、单调以及条件自由。
• 广义Möbius函数的逆是广义zeta函数，且涉及βt、γt和μ̃的卷积恒等式导出了半群性质βs * βt = βst和复合规则γs △ βt = βs∘t。