[论文解读] Cuntz-Krieger algebras for infinite matrices

Ruy Exel, Marcelo Laca|ArXiv.org|Dec 18, 1997

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用 7

一句话总结

本文通过定义由满足广义Cuntz-Krieger关系的偏等距生成的泛C*-代数，将Cuntz-Krieger代数推广至无全零行的无限0–1矩阵。利用部分动力系统的半直积构造，作者建立了关键结果，包括唯一性定理、理想分类和无限情形下的单纯性准则，证明该代数始终为核代数，并确定了其为单位元代数或纯无穷代数的条件。

ABSTRACT

Given an arbitrary infinite 0--1 matrix A having no identically zero rows, we define an algebra OA as the universal C*-algebra generated by partial isometries subject to conditions that generalize, to the infinite case, those introduced by Cuntz and Krieger for finite matrices. We realize OA as the crossed product algebra for a partial dynamical system and, based on this description, we extend to the infinite case some of the main results known to hold in the finite case, namely the uniqueness theorem, the classification of ideals, and the simplicity criteria. OA is always nuclear and we obtain conditions for it to be unital and purely infinite.

研究动机与目标

• 将Cuntz-Krieger代数从有限矩阵推广至无全零行的无限0–1矩阵。
• 为无限矩阵定义由满足广义Cuntz-Krieger关系的偏等距生成的泛C*-代数OA。
• 在无限情形下建立OA的基础结构性结果——唯一性定理、理想分类与单纯性准则。
• 证明OA始终为核代数，并确定其为单位元代数或纯无穷代数的条件。
• 将OA实现为部分动力系统的半直积代数，从而将有限矩阵情形的结果推广至无限情形。

提出的方法

• 将OA定义为由满足由无全零行的无限0–1矩阵A导出的关系的偏等距生成的泛C*-代数。
• 构造一个半直积同构于OA的部分动力系统，从而可应用动力系统技术。
• 利用半直积实现，将有限情形下的唯一性定理推广至无限矩阵情形。
• 应用部分作用框架，对OA中的双边理想进行分类，推广有限情形下的分类结果。
• 通过分析关联部分作用在对角子代数谱上的极小性与非周期性，建立OA的单纯性准则。
• 推导OA为单位元代数的条件（当A的每列仅有有限个1时），以及为纯无穷代数的条件（当A满足强移位有限性条件时）。

实验结果

研究问题

• RQ1 Cuntz-Krieger代数如何推广至无全零行的无限0–1矩阵？
• RQ2 无限矩阵Cuntz-Krieger代数的恰当泛C*-代数定义是什么？
• RQ3 有限情形下的唯一性定理、理想分类与单纯性准则能否推广至无限情形？
• RQ4 OA如何被实现为半直积代数以促进结构性分析？
• RQ5 在无限矩阵情形下，OA在何种条件下为单位元代数或纯无穷代数？

主要发现

• OA始终为核代数，扩展了有限矩阵情形下的关键性质。
• 唯一性定理对OA成立，确保满足Cuntz-Krieger关系的表示可因子化至泛代数。
• OA中的双边理想与矩阵指标集的下向闭且饱和子集之间存在一一对应，推广了有限情形。
• OA的单纯性由关联部分作用在对角子代数谱上的极小性与非周期性特征刻画。
• OA为单位元代数当且仅当A的每一列仅有有限个1。
• OA为纯无穷代数当且仅当A满足强移位有限性条件，即无行最终为零，且无有限行集能生成具有无限项的子矩阵。