[论文解读] Cuntz-Li relations, Inverse semigroups and Groupoids

S. Sundar|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 18被引用 6

一句话总结

本文证明了由 Cuntz-Li 关系定义的普遍 C*-代数——源于半直积 $N \rtimes H$ 且包含正规子群 $M$——同构于与一个部分等距的反演半群相关的紧致群胚的 C*-代数。通过应用 Exel 的紧致表示理论，作者将该 C*-代数识别为 $\overline{N} \rtimes G|_{\overline{M}}$ 的群胚 C*-代数，从而在去除 $H$ 为阿贝尔群的假设下推广了先前的结果。

ABSTRACT

In this paper we show that the universal C*-algebra satisfying the Cuntz-Li relations is generated by an inverse semigroup of partial isometries. We apply Exel's theory of tight representations to this inverse semigroup. We identify the universal C*-algebra as the C*-algebra of the tight groupoid associated to the inverse semigroup.

研究动机与目标

• 通过去除作用群 $H$ 为阿贝尔群的要求，推广 Cuntz-Li 构造。
• 证明满足 Cuntz-Li 关系的普遍 C*-代数由部分等距的反演半群生成。
• 应用 Exel 的紧致表示理论，将普遍 C*-代数识别为与该反演半群相关的紧致群胚的 C*-代数。
• 证明紧致群胚同构于群胚 $\overline{N} \rtimes G|_{\overline{M}}$，从而将构造与完备化联系起来。
• 建立类似于 [CL11] 的对偶性结果，将其推广至非阿贝尔情形。

提出的方法

• 定义由满足 Cuntz-Li 关系的等距生成的普遍 C*-代数 $\mathfrak{A}[N\rtimes H, M]$，其中 $G = N \rtimes H$ 满足条件 (C1)–(C3)，且 $M \trianglelefteq N$ 为正规子群。
• 构造由 Cuntz-Li 关系的普遍表示生成的反演半群 $T$ 的部分等距。
• 将 Exel 的紧致表示理论应用于反演半群 $T$，将紧致群胚 $\mathcal{G}_{\text{tight}}$ 识别为紧致表示空间的谱。
• 证明 $\mathcal{G}_{\text{tight}}$ 的 C*-代数同构于 $\mathfrak{A}[N\rtimes H, M]$，从而将普遍 C*-代数实现为群胚 C*-代数。
• 明确识别 $\mathcal{G}_{\text{tight}}$ 同构于 $\overline{N} \rtimes G|_{\overline{M}}$，即与 $N$ 的完备化及 $G$ 在 $\overline{M}$ 上的作用相关的群胚。
• 利用矩阵 $X = (\operatorname{tr}(w_i w_j))$ 构造动力系统 $\mathbb{R}^n \rtimes \Gamma$ 与 $\mathbb{R}^n \rtimes \Gamma^{\text{op}}$ 之间的同构，从而实现数域上的对偶性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 当作用群 $H$ 为非阿贝尔时，是否仍能通过反演半群方法将 Cuntz-Li 普遍 C*-代数实现为群胚的 C*-代数？
• RQ2 满足 Cuntz-Li 关系的普遍 C*-代数是否同构于与部分等距反演半群相关的紧致群胚的 C*-代数？
• RQ3 在此推广设定下，紧致群胚 $\mathcal{G}_{\text{tight}}$ 的显式群胚结构是什么？
• RQ4 在推广假设下，$\mathcal{G}_{\text{tight}}$ 与 $\overline{N} \rtimes G|_{\overline{M}}$ 之间的同构如何产生？
• RQ5 能否在非阿贝尔 $H$ 的情形下，特别是在数域背景下，建立类似于 [CL11] 的对偶性结果？

主要发现

• 满足 Cuntz-Li 关系的普遍 C*-代数 $\mathfrak{A}[N\rtimes H, M]$ 同构于与部分等距反演半群相关的紧致群胚 $\mathcal{G}_{\text{tight}}$ 的 C*-代数。
• 紧致群胚 $\mathcal{G}_{\text{tight}}$ 明确识别为同构于 $\overline{N} \rtimes G|_{\overline{M}}$，即 $N$ 的完备化在 $G$ 作用于 $\overline{M}$ 上的群胚。
• 数域 $K$ 的 C*-代数 $\mathfrak{A}[K\rtimes K^\times, O_K]$ 与 $C_0(\mathbb{A}_\infty) \rtimes (K \rtimes K^\times)$ Morita 同价，推广了 [CL11] 中的结果。
• 矩阵 $X = (\operatorname{tr}(w_i w_j))$ 实现了动力系统 $(\mathbb{R}^n, \mathbb{Q}^n \rtimes \Gamma)$ 与 $(\mathbb{R}^n, \mathbb{Q}^n \rtimes \Gamma^{\text{op}})$ 之间的同构，从而实现对偶性结果。
• 对于满足 $\bigcap_{r=0}^\infty A^r \mathbb{Z}^n = \{0\}$ 的矩阵 $A$，C*-代数 $\mathfrak{A}_A$ 与 $C_0(\mathbb{R}^n) \rtimes (N_A \rtimes \mathbb{Z})$ Morita 同价，推广了 2-adic 对偶性定理。
• 对偶性结果对 $A^t$ 同样成立，因为 $\bigcap_{r=0}^\infty A^r \mathbb{Z}^n = \{0\}$ 当且仅当 $\bigcap_{r=0}^\infty (A^t)^r \mathbb{Z}^n = \{0\}$，这是由于 $A$ 与 $A^t$ 在有理数上相似。