[论文解读] Cuntz semigroups of C*-algebras of stable rank one and projective Hilbert modules

Huaxin Lin|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用 18

一句话总结

该论文证明，在稳定秩为一的简单 C*-代数中，两个 σ-紧致开投影 Cuntz 等价当且仅当存在一条连续的酉路径连接它们。此外，还证明了在具有有界模映射且保持伴随算子的希尔伯特 A-模范畴中，每个希尔伯特 A-模都是投射的，从而将 Cuntz 半群与投影希尔伯特模的结构联系起来。

ABSTRACT

Let $A$ be a simple C*-algebra of stable rank one and let $p$ and $q$ be two $σ$-compact open projections. It is proved that there is a continuous path of unitaries in ${ ilde A}$ which connects open sub-projections of $p$ which is compactly contained in $p$ to those in $q.$ It is also shown that every Hilbert module is projective in the category whose morphisms are bounded module maps with adjoints. A discussion of projective Hilbert modules (whose morphisms are bounded module maps) is also given.

研究动机与目标

• 阐明 Cuntz 半群与 C*-代数中希尔伯特模结构之间的关系。
• 研究 Cuntz 等价的 σ-紧致开投影是否蕴含存在一条连接它们的连续酉路径。
• 确定希尔伯特 A-模在具有有界模映射的范畴中的投射性，特别是那些具有或不具有伴随算子的范畴。
• 探讨稳定秩为一对开投影和正元素的同伦与等价性质的影响。

提出的方法

• 利用 L. G. Brown 关于 C*-代数中开投影及其等价性的结果，建立同伦与 Cuntz 等价之间的联系。
• 应用正元素和开投影的 Cuntz 关系，定义 $ a \lessapprox b $ 和 $ a \lesssim b $，从而导出 Cuntz 半群 $ W(A) $ 和 $ Cu(A) $。
• 为谱为 $[0,1]$ 的正元素 $ a $ 构造近似单位 $ \{f_n(a)\} $ 和 $ \{g_n(a)\} $，定义满足 $ e_n d_n = e_n $、$ d_n d_m = 0 $（当 $ |n-m| \geq 2 $ 时）的投影 $ e_n $ 和 $ d_n $。
• 通过 $ T(b) = \sum_{n=1}^\infty \xi_n b $ 定义一个有界模映射 $ T: H \to H_1 $，其中 $ \xi_n = (1 - p_n)x_n d_n $，确保 $ \varphi \circ T = \psi $。
• 利用范数估计 $ \|T\| \leq 2\|\varphi^\sim \circ \psi\| + \epsilon $ 证明在保持伴随算子的态射范畴中的投射性。
• 利用 $ K(H) $ 的结构并结合一个序列中心近似单位，将范数估计改进为 $ \|T\| \leq \|\varphi^\sim \circ \psi\| + \epsilon $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在稳定秩为一的简单 C*-代数中，两个 σ-compact 开投影在何时是 Cuntz 等价的？
• RQ2 在 $ \tilde{A} $ 中，是否存在一条连续的酉路径连接某个给定开投影的两个 σ-compact 开子投影？
• RQ3 在具有有界模映射且保持伴随算子的范畴中，希尔伯特 A-模在何种条件下是投射的？
• RQ4 Cuntz 半群如何与希尔伯特 A-模的同构类相关联？
• RQ5 在稳定秩为一的 C*-代数中，开投影的 Cuntz 等价是否等价于存在一条连接它们的连续酉路径？

主要发现

• 在稳定秩为一的简单 C*-代数中，两个 σ-compact 开投影 Cuntz 等价当且仅当存在一条在 $ \tilde{A} $ 中连接它们的连续酉路径。
• 在具有有界模映射且保持伴随算子的希尔伯特 A-模范畴中，每个希尔伯特 A-模都是投射的。
• 对任意的满射有界模映射 $ \varphi: H_1 \to H_2 $ 和任意有界模映射 $ \psi: H \to H_2 $，存在一个提升映射 $ T: H \to H_1 $，满足 $ \|T\| \leq 2\|\varphi^\sim \circ \psi\| + \epsilon $。
• 若 $ K(H) $ 允许一个由投影构成的序列中心近似单位，则提升映射 $ T $ 满足 $ \|T\| \leq \|\varphi^\sim \circ \psi\| + \epsilon $。
• 在 $ (A \otimes \mathcal{K})^{**} $ 中，范围投影 $ p_a $ 与 $ p_b $ 的 Cuntz 等价性等价于希尔伯特 A-模 $ \overline{aA} $ 与 $ \overline{bA} $ 的同构。
• 希尔伯特 A-模 $ H = \bigoplus_{i=1}^n \overline{x_i A} $ 是投射的，当且仅当每个 $ K(H_i) $ 允许一个序列中心近似单位。