[论文解读] Cup-products in L q,p -cohomology: discretization and quasi-isometry invariance

Pierre Pansu|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文通过引入一种度量空间的类比理论——打包 π-上同调（packing π-cohomology）——并证明 $L^{q,p}$-上同调与该离散理论之间的同构，建立了具有有界几何的黎曼流形上 $L^{q,p}$-上同调及其上积结构的拟等距不变性。关键结果将不变性推广至极限指数情形，并证实乘法结构在拟等距变换下保持不变。

ABSTRACT

We relate $L^{q,p}$-cohomology of bounded geometry Riemannian manifolds to a purely metric space notion of $\\ell^{q,p}$-cohomology, packing cohomology. This implies quasi-isometry invariance of $L^{q,p}$-cohomology together with its multiplicative structure. The result partially extends to the Rumin $L^{q,p}$-cohomology of bounded geometry contact manifolds.

研究动机与目标

• 建立具有有界几何的黎曼流形上 $L^{q,p}$-上同调的拟等距不变性。
• 将此不变性推广至指数的极限情形 $p=1$, $q=n/(n-1)$ 以及 $p=n$, $q=\infty$，此时标准的 $L^{q,p}$-上同调必须由 $L^{\pi}$-上同调替代，其中 $\pi = \mathcal{H}^1$ 或 $BMO$。
• 证明 $L^{q,p}$-上同调上的上积结构同样具有拟等距不变性。
• 发展一种基于度量空间的离散理论——打包 $\ell^{q,p}$-上同调——该理论与 $L^{q,p}$-上同调相对应，从而实现不变性证明。
• 将结果推广至配备 Rumin 复形的接触流形，利用近期关于 Heisenberg 群的 $L^1$-分析结果。

提出的方法

• 为度量空间引入一种新的离散上同调理论——打包 $\ell^{q,p}$-上同调——其定义基于一致覆盖与上链上的 $\ell^{q,p}$-范数。
• 使用 Lery 的可缩覆盖定理的定制版本，将流形上的 $L^{q,p}$-上同调与离散打包上同调联系起来，依赖于球内满足的庞加莱不等式。
• 通过在所有尺度上利用上同调在至多 $k-1$ 阶上一致消失以及受控的庞加莱不等式，建立 $L^{q,p}$-上同调与打包 $\ell^{q,p}$-上同调之间的同构。
• 应用 Alexander-Spanier 上链与 Rips 复形，证明打包上同调本质上是拟等距不变的，从而可将不变性转移至连续理论。
• 对于接触流形，利用 Rumin 复形及 [BFP] 中的光滑化算子，构造 $L^{\pi}$-Rumin 上链与 $W^{1,\pi}$-Rumin 上链之间的同伦等价。
• 通过迭代涉及光滑化与余边界算子的同伦关系，证明 $L^{\pi}$-Rumin 复形是拟等距不变的，使用关于 $r$ 和 $W$ 的多项式来消除误差项。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否证明 $L^{q,p}$-上同调及其上积结构在所有指数对 $1 \leq p \leq q \leq \infty$（包括极限情形）下均具有拟等距不变性？
• RQ2 是否存在一种纯粹基于度量空间的 $\ell^{q,p}$-上同调定义——即打包上同调——其在具有有界几何的黎曼流形上与 $L^{q,p}$-上同调一致？
• RQ3 鉴于 Rumin 复形并非微分代数，如何保证 $L^{q,p}$-上同调的乘法结构在拟等距变换下保持不变？
• RQ4 能否将通过一致覆盖与庞加莱不等式实现的离散化方法推广至具有有界几何的次黎曼流形？
• RQ5 需要哪些分析工具才能将不变性结果推广至超越 Heisenberg 情形的一般等秩 Carnot 流形？

主要发现

• 对于具有有界几何且上同调在至多 $k-1$ 阶上一致消失的黎曼流形，$L^{q,p}$-上同调与打包 $\ell^{q,p}$-上同调在至多 $k-1$ 阶上作为向量空间同构，且在第 $k$ 阶上，精确的 $L^{q,p}$-上同调与精确的打包 $\ell^{q,p}$-上同调也同构。
• 这些同构是拓扑的，源于当 $(p,q) \neq (1, n/(n-1))$ 或 $(n, \infty)$ 时 Banach 复形之间的同伦等价，并在粗嵌入下是函子性的。
• $L^{q,p}$-上同调上的上积结构在拟等距变换下保持不变，从而在所有情况下均确立了其不变性。
• 对于极限情形 $p=1$, $q=n/(n-1)$ 与 $p=n$, $q=\infty$，标准的 $L^{q,p}$-上同调由 $L^{\pi}$-上同调替代，其中 $\pi = \mathcal{H}^1$ 或 $BMO$，且与打包上同调之间的同构关系仍然成立。
• 在具有有界几何与 Carnot-Carathéodory 度量的接触流形上，$L^{\pi}$-Rumin 上同调是拟等距不变的，该结果基于光滑化算子与迭代同伦构造。
• 证明依赖于一个多项式同伦构造，通过确保在 $L$ 次迭代后 $W^L = 0$ 来消除误差项，其中 $W$ 综合了光滑化与余边界误差。