[论文解读] Curious continued fractions, nonlinear recurrences and transcendental numbers

Andrew N. W. Hone|Kent Academic Repository (University of Kent)|Jun 30, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文证明了由非线性递推关系定义的某些快速增长的整数序列（特别是 Hone 分类中的第 (iii) 类）的倒数之和，其连分数展开式会交错排列原序列及其比值。作者利用 Roth 的丢番图逼近定理证明了此类和为超越数，通过利用序列的双指数增长满足所需的逼近条件。

ABSTRACT

We consider a family of integer sequences generated by nonlinear recurrences of the second order, which have the curious property that the terms of the sequence, and integer multiples of the ratios of successive terms (which are also integers), appear interlaced in the continued fraction expansion of the sum of the reciprocals of the terms. Using the rapid (double exponential) growth of the terms, for each sequence it is shown that the sum of the reciprocals is a transcendental number.

研究动机与目标

• 推广 Hanna 的经验观察：即序列 A112373 倒数之和的连分数展开交错排列该序列及其比值。
• 证明该交错性质对由形如 $ x_{n+2}x_n = x_{n+1}^2 F(x_{n+1}) $ 的二阶非线性递推生成的无限多组整数序列成立，其中 $ F(0) = 1 $。
• 利用丢番图逼近理论，证明此类序列倒数之和的超越性。
• 将 Davison 与 Shallit 关于超越连分数的结果推广至更广泛的非线性递推生成序列类别。

提出的方法

• 利用洛朗性质，确保当 $ F(0) = 1 $ 且初始值 $ x_0 = x_1 = 1 $ 时，递推关系生成整数序列。
• 通过对数递推关系 $ \Lambda_{n+1} - (d+2)\Lambda_n + \Lambda_{n-1} = \log c + \alpha_n $ 分析序列 $ x_n $ 的增长率，其中 $ \Lambda_n = \log x_n $。
• 推导渐近行为 $ \Lambda_n \sim C\lambda^n $，其中 $ \lambda = \frac{d+2 + \sqrt{d(d+4)}}{2} > 2 $，表明存在双指数增长。
• 利用递推关系 $ a_{2n} = a_{2n-1}a_{2n-2} $，$ a_{2n+1} = a_{2n-1}(a_{2n} + 1) $，证明连分数的渐近项交错排列 $ x_n $ 与 $ y_n = x_{n+1}/x_n $。
• 应用 Roth 的丢番图逼近定理：若一个数存在无穷多个有理逼近 $ p/q $ 满足 $ |\alpha - p/q| < 1/q^{\kappa} $，且 $ \kappa > 2 $，则该数为超越数。
• 利用增长率 $ x_{n+1} > x_n^{\lambda - \epsilon} $，其中 $ \lambda > 2 $，证明和 $ \mathcal{S} $ 满足超越性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于由 $ x_{n+2}x_n = x_{n+1}^2 F(x_{n+1}) $ 且 $ F(0) = 1 $ 定义的序列，其倒数之和的连分数展开是否交错排列该序列及其比值？
• RQ2 鉴于各项的双指数增长，能否利用丢番图逼近证明此类和的超越性？
• RQ3 该连分数中的交错性质是否为 Hone 的递推分类中第 (iii) 类所有序列的普遍特征？
• RQ4 序列的渐近增长率如何影响其倒数之和的逼近性质？
• RQ5 是否可将针对序列 A112373 的方法推广至所有满足 $ F \in \mathbb{Z}_{\geq 0}[x] $，$ F(0) = 1 $ 的此类递推关系？

主要发现

• 对于由 $ x_{n+2}x_n = x_{n+1}^2(x_{n+1} + 1) $ 定义的序列，其倒数之和 $ \mathcal{S} = \sum_{j=0}^\infty \frac{1}{x_j} $ 的连分数展开为 $ [2; 1, 1, 2, 2, 6, 12, 78, \dots] $，交错排列原序列及其比值。
• 渐近项 $ a_n $ 满足 $ a_{2n} = a_{2n-1}a_{2n-2} $ 与 $ a_{2n+1} = a_{2n-1}(a_{2n} + 1) $，证实了交错结构。
• 序列 $ x_n $ 呈双指数增长，满足 $ \log x_n \sim C\lambda^n $，其中在原始情形下 $ \lambda = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \approx 2.618 $。
• 对于任意满足 $ F(0) = 1 $ 的此类序列，和 $ \mathcal{S} $ 为超越数，因为增长率 $ x_{n+1} > x_n^{\lambda - \epsilon} $ 且 $ \lambda > 2 $ 意味着存在无穷多个优良有理逼近。
• 该结果可推广至所有形如 $ x_{n+2}x_n = x_{n+1}^2 F(x_{n+1}) $ 的递推关系，其中 $ F \in \mathbb{Z}_{\geq 0}[x] $，$ F(0) = 1 $，确保具有相同的连分数结构与超越性。
• 推导出渐近公式 $ x_n \sim c^{-1/d} \exp(C\lambda^n) $，其中 $ \lambda = \frac{d+2 + \sqrt{d(d+4)}}{2} > 2 $，证实了超越性所必需的增长率。