[论文解读] Curl-curl conforming elements on tetrahedra

Qian Zhang, Zhimin Zhang|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 26被引用 4

一句话总结

本文在四面体网格上构建了 H(curl²)-符合的有限元，用于求解三维四阶旋度问题，该问题源于电磁学与磁流体动力学中的四阶旋度系统。所提出的有限元实现了最优插值误差估计，并可在一般 Lipschitz 域中实现符合的有限元离散化，数值验证证实了其精度与收敛性。

ABSTRACT

In [24], we proposed H(curl^2)-conforming elements on both a triangle and a rectangle. This family of elements provides a brand new method to solve the quad-curl problem in 2 dimensions. In this paper, we turn our focus to 3 dimensions and construct an H(curl^2)-conforming tetrahedral finite element. The newly proposed element has been proved to have the optimal interpolation error estimate. Having tetrahedral elements, we can solve the quad-curl problem in any Lipschitz domain by conforming finite element method. We also provide several numerical examples of using our element to solve the quad-curl problem. The results of the numerical experiments show the effectiveness and correctness of our element.

研究动机与目标

• 在四面体网格上构造 H(curl²)-符合的有限元，以求解三维四阶旋度问题。
• 克服在三维中构造旋度-旋度符合有限元的挑战，其正则性要求弱于 H¹(curl) 有限元。
• 尽管最低阶元具有大量自由度（315 个），仍确保最优插值误差估计。
• 提供一种符合的有限元方法，可在 H(curl²) 空间中收敛至精确解，避免 H²-符合方法中固有的投影误差。
• 通过四面体网格实现在任意 Lipschitz 域中对四阶旋度问题的精确数值求解。

提出的方法

• 通过定义涉及向量场本身、其旋度以及边和面上法向导数的点值的自由度（DOFs），在四面体上构造 H(curl²)-符合的有限元。
• 使用参考元和变换矩阵 D，将自由度从参考元映射到物理四面体，确保唯一性和符合性。
• 引入与参考元相关的中间元，其自由度便于证明最优插值误差估计。
• 由于传统拉格朗日型基函数计算在高自由度下不可行，采用文献 [8] 中的方法计算高自由度元（315 个自由度）的基函数。
• 通过包含雅可比矩阵和边/面法向量的变换矩阵，将物理元上所有自由度表示为参考元上函数值的线性组合。
• 通过将插值算子表示为自由度的函数，并验证一致性和稳定性，证明插值误差在 H(curl²) 范数下收敛最优。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在三维四面体网格上构造 H(curl²)-符合的有限元，以实现四阶旋度问题的最优收敛率？
• RQ2 当自由度涉及边和面上的法向导数时，如何确保旋度-旋度符合有限元的唯一性和符合性，因为这些量在参考元与物理元之间不能自然传递？
• RQ3 所提出的四面体上 H(curl²)-符合有限元空间的最优插值误差估计是什么？
• RQ4 所提方法能否在 H(curl²) 空间中收敛至精确解，从而避免 H²-符合方法中固有的投影误差？
• RQ5 如何高效计算具有 315 个自由度的高阶 H(curl²)-符合有限元的基函数？

主要发现

• 所提出的四面体上 H(curl²)-符合有限元在 H(curl²) 范数下实现了最优插值误差估计，证实了其理论可靠性。
• 该构造在数学上严谨，通过详细分析自由度及其变换，验证了唯一性和符合性。
• 最低阶元具有 315 个自由度，远高于标准 Nédélec 元，反映了对旋度和二阶导数捕捉的高要求。
• 数值实验验证了方法的正确性与收敛性，显示了三维四阶旋度问题中达到最优收敛率。
• 该方法可在任意 Lipschitz 域中实现四阶旋度问题的符合有限元离散化，克服了 H²-符合与非符合方法的局限性。
• 提供了一个计算框架，代码已发布于 https://github.com/QianZhangMath/3D-curl-curl-conforming-FE，即使在高自由度下也能高效计算基函数。