[论文解读] Curling Numbers of Certain Graph Powers

C Susanth, Sunny Joseph Kalayathankal+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2015

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文研究了图的幂图的卷曲数与复合卷曲数，特别关注路径图、完全二叉树和n叉树。文章推导了这些不变量在不同幂次下的精确公式，表明路径图P_n的r次幂的卷曲数取决于r与n/2的相对关系；而对于完全二叉树，卷曲数为2^h，复合卷曲数为2^(h+1 choose 2)。

ABSTRACT

Given a finite nonempty sequence $S$ of integers, write it as $XY^k$, where $Y^k$ is a power of greatest exponent that is a suffix of $S$: this $k$ is the curling number of $S$. The concept of curling number of sequences has already been extended to the degree sequences of graphs to define the curling number of a graph. In this paper we study the curling number of graph powers, graph products and certain other graph operations.

研究动机与目标

• 将卷曲数的概念从整数序列和度序列扩展到图的幂图。
• 确定标准图类（如路径图、完全二叉树和吊钟图）的整数次幂图的卷曲数与复合卷曲数。
• 在不同图运算和幂次下，建立这些不变量的一般公式。
• 识别图论中涉及卷曲数参数的未来研究开放问题。

提出的方法

• 将图G的r次幂定义为图G^r，其顶点集与G相同，若两点在G中的距离至多为r，则在G^r中相邻。
• 分析G^r的度序列，识别重复项（即恒等子序列），用于计算卷曲数。
• 将G^r的度序列视为整数字符串，应用卷曲数定义，计算后缀幂的最大指数。
• 使用复合卷曲数公式cn^c(G) = ∏k_i，其中k_i为度序列中恒等子序列的指数。
• 结合组合与结构分析方法，针对路径图和树图，利用完全二叉树和n叉树的对称性与逐层度均匀性。
• 通过分类讨论r与n/2的关系（针对路径图），以及按层统计度数（针对树图），推导出闭式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 当r相对于n/2取不同值时，路径图P_n的r次幂的卷曲数是多少？
• RQ2 完全二叉树的整数次幂图中，卷曲数与复合卷曲数的行为如何？
• RQ3 能否为完全n叉树的r次幂图的卷曲数推导出一般公式？
• RQ4 任意吊钟图及其幂图的卷曲数与复合卷曲数是多少？
• RQ5 在图运算（如幂运算和乘积运算）下，卷曲数与复合卷曲数的一般性质是什么？

主要发现

• 对于路径图P_n的r次幂，当r ≤ ⌊n/2⌋时，若r = ⌊n/2⌋，卷曲数为2；若r < ⌊n/2⌋−1，卷曲数为n−2r；若⌊n/2⌋ ≤ r ≤ n−1，卷曲数为2(r+1)−n。
• 完全二叉树（高度为h）的r次幂图的卷曲数为2^h，其复合卷曲数为2^(h+1 choose 2)。
• 对于高度为h的完全n叉树，其r次幂图的卷曲数为n^h，复合卷曲数为∏_{i=0}^h n^i。
• 吊钟图G的卷曲数为max{η, ∑l_i}，其中η为内部顶点中某一度数的最大频率，∑l_i为叶节点总数。
• 由于内部顶点度数的结构约束不足，任意吊钟图的复合卷曲数难以计算。
• 对于任意图G，若其直径为d，则当r ≥ d时，G^r的卷曲数为|V(G)|，因为此时G^r成为完全图。