[论文解读] Current results on Newton polygons of curves

Rachel Pries|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2018

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 25被引用 5

一句话总结

本文综述了正特征下光滑曲线雅可比簇的牛顿多边形与Ekedahl-Oort型的现有知识，证明了两个新结果：第一，对每个奇素数 $p$，在 $¯{\mathbb{F}}_p$ 上存在无穷多个新的 $g$ 值，使得存在 genus $g$ 的超奇异曲线；第二，建立了一个约化定理，表明关于牛顿多边形与Ekedahl-Oort层几何的问题可约化至 $p$-秩 0 的情形，从而在更高亏格下获得了特定牛顿多边形的新存在性结果。

ABSTRACT

There are open questions about which Newton polygons and Ekedahl-Oort types occur for Jacobians of smooth curves of genus $g$ in positive characteristic $p$. In this chapter, I survey the current state of knowledge about these questions. I include a new result, joint with Karemaker, which verifies, for each odd prime $p$, that there exist supersingular curves of genus $g$ defined over $\overline{\mathbb F}_p$ for infinitely many new values of $g$. I sketch a proof of Faber and Van der Geer's theorem about the geometry of the $p$-rank stratification of the moduli space of curves. The chapter ends with a new theorem, in which I prove that questions about the geometry of the Newton polygon and Ekedahl-Oort strata can be reduced to the case of $p$-rank $0$.

研究动机与目标

• 综述当前关于正特征 $p$ 下光滑曲线雅可比簇的牛顿多边形与Ekedahl-Oort型的已知结果。
• 解决一个开放问题：对于 $\overline{\mathbb{F}}_p$ 上的超奇异曲线，是否存在无穷多个 $g$ 使得其亏格为 $g$，特别是对奇素数 $p$。
• 建立一个约化原理，使得关于牛顿多边形与Ekedahl-Oort层几何的问题可通过对 $p$-秩 0 情形的研究来处理。
• 利用约化定理，证明在 $g \geq 4$ 且 $p$-秩为 $g-4$ 的情形下，存在具有特定牛顿多边形的光滑曲线。

提出的方法

• 利用模空间 $\mathcal{M}_g$ 中的 $p$-秩分层与牛顿多边形分层理论。
• 应用 Faber 与 van der Geer 关于 $p$-秩 $f$ 分层维数的结果：$\dim \mathcal{M}_g^f = 2g - 3 + f$。
• 运用同源叶与Torelli簇的概念，分析阿贝尔簇模空间中的交集。
• 借助对称 $\mathrm{BT}_1$ 族的分类，刻画Ekedahl-Oort型。
• 利用具有附加结构（如 $\mathbb{Z}[\zeta_3]$-作用）的阿贝尔簇模空间的牛顿多边形分层，构造具体例子。
• 证明一个约化定理（定理 6.4），表明关于牛顿多边形与Ekedahl-Oort型的几何问题可约化至 $p$-秩 0 情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 对每个奇素数 $p$，是否存在无穷多个新的 $g$ 值，使得在 $\overline{\mathbb{F}}_p$ 上存在 genus $g$ 的超奇异曲线？
• RQ2 能否将曲线模空间中牛顿多边形与Ekedahl-Oort层几何的问题约化至 $p$-秩 0 情形？
• RQ3 牛顿多边形 $\xi_4^{+(g-4)}$ 是否在 $\mathcal{M}_g$ 的 $p$-秩 $g-4$ 分层的某个不可约分支中通用出现，其中 $g \geq 4$？
• RQ4 对 $g \geq 5$，是否存在一个光滑曲线，其雅可比簇的牛顿多边形具有斜率 $1/g$ 与 $(g-1)/g$？
• RQ5 是否存在一个 genus 5 的光滑曲线，其雅可比簇的牛顿多边形具有斜率 $2/5$ 与 $3/5$？

主要发现

• 对每个奇素数 $p$，存在无穷多个新的 $g$ 值，使得在 $\overline{\mathbb{F}}_p$ 上存在 genus $g$ 的超奇异曲线，该结果由作者与 Karemaker 共同证明。
• $p$-秩 $f$ 分层 $\mathcal{M}_g^f$ 的维数为 $2g - 3 + f$，对所有素数 $p$ 及整数 $g \geq 2$，$0 \leq f \leq g$ 成立，确认了 Faber 与 van der Geer 的结果。
• 定理 6.4 建立了关于牛顿多边形与Ekedahl-Oort层几何的问题可约化至 $p$-秩 0 情形的结论。
• 对所有素数 $p$ 及所有 $g \geq 4$，存在一个定义在 $\overline{\mathbb{F}}_p$ 上的光滑曲线，其 genus 为 $g$，$p$-秩为 $g-4$，且其牛顿多边形具有斜率 $0, 1/4, 3/4, 1$，如推论 6.5 所述。
• $\mathcal{M}_4$ 的 $p$-秩 0 分层包含一个分支，其一般点的牛顿多边形为 $\xi_4$，从而证实了在 genus 4 情形下此类曲线的存在性。
• 目前尚不能确定是否存在 genus 5 的曲线，其牛顿多边形为 $\xi_5'$（斜率 $2/5$ 与 $3/5$），但若此类阿贝尔簇的同源叶与 $\mathcal{A}_5$ 中的 Torelli 簇相交，则其存在性是可能的。