[论文解读] Current status linear regression

Piet Groeneboom, Kim Hendrickx|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2016

Statistical Methods and Inference参考文献 21被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种新颖的非光滑估计方法，用于当前状态线性回归中回归参数的极大似然估计（MLE），基于无限维分布函数的MLE。该方法在无需平滑处理的情况下，建立了$√n$-一致性与渐近正态性，并在广义费雪信息有限的条件下，构造出可无限接近高效估计的估计量，解决了关于轮廓MLE一致性的开放问题。

ABSTRACT

We construct $\sqrt{n}$-consistent and asymptotically normal estimates for the finite dimensional regression parameter in the current status linear regression model, which do not require any smoothing device and are based on maximum likelihood estimates (MLEs) of the infinite dimensional parameter. We also construct estimates, again only based on these MLEs, which are arbitrarily close to efficient estimates, if the generalized Fisher information is finite. This type of efficiency is also derived under minimal conditions for estimates based on smooth non-monotone plug-in estimates of the distribution function. Algorithms for computing the estimates and for selecting the bandwidth of the smooth estimates with a bootstrap method are provided. The connection with results in the econometric literature is also pointed out.

研究动机与目标

• 开发当前状态线性回归中有限维回归参数的$√n$-一致且渐近正态的估计量。
• 解决轮廓极大似然估计量（MLE）的回归参数是否具有$√n$-一致性的开放问题。
• 在广义费雪信息有限的条件下，构造可无限接近高效的估计量，且不依赖于平滑工具。
• 提供计算估计量的算法，并通过自助法选择平滑插值估计量的带宽。
• 阐明与计量经济学文献中二值选择模型及当前状态数据的联系。

提出的方法

• 估计基于固定$\beta$时分布函数$F$的非参数MLE，避免平滑处理。
• 定义混合估计量为$\beta$的非光滑得分函数的根，使用固定$\beta$下的MLE$\hat{F}_{n,\beta}$。
• 该方法利用固定$\beta$下$F$的argmax MLE，但通过得分方程而非轮廓似然最大化来定义$\hat{\beta}_n$。
• 通过得分函数的一阶展开建立渐近正态性，误差项通过带宽$h \ll n^{-1/4}$控制。
• 通过引入依赖于广义费雪信息的校正项，逼近效率界限。
• 使用自助法选择平滑非单调插值估计量的分布函数的带宽。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不使用平滑处理的情况下，为当前状态线性回归中的回归参数构造$√n$-一致且渐近正态的估计量？
• RQ2 轮廓MLE的$\beta_0$是否具有$√n$-一致性？若否，何种替代估计量可达到该收敛速率？
• RQ3 能否在广义费雪信息有限的条件下，构造出可无限接近高效的估计量？
• RQ4 所提方法与计量经济学文献中现有方法（尤其是二值选择模型）相比如何？
• RQ5 带宽选择在实现平滑插值估计量的渐近效率中起何种作用？

主要发现

• 基于非光滑得分函数根的所提估计量具有$√n$-一致性与渐近正态性，尽管轮廓MLE的收敛速率仍未知。
• 当广义费雪信息有限时，估计量的渐近正态性具有与半参数效率界限一致的极限方差。
• 在$h \ll n^{-1/4}$条件下，$\sqrt{n}(\hat{\beta}_n - \beta_0)$的渐近分布为均值为零、方差为$\int \frac{F_0(v)(1-F_0(v))}{f_{T-\beta_0'X}(v)} dv$的正态分布。
• 渐近展开中两个主要项之间的协方差为零，证实了渐近不相关性，支持了正态近似的有效性。
• 该方法完全避免了主估计量的平滑处理，转而依赖于固定$\beta$下$F$的非参数MLE，这是关键创新。
• 为平滑插值估计量提供了基于自助法的带宽选择方法，使实现近似高效估计成为可能。