[论文解读] Curvature and rank of Teichmüller space

Jeffrey Brock, Benson Farb|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2001

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用 10

一句话总结

该论文通过裤分解图和曲线复形的几何结构，证明了在曲面复杂度 $ d(S) = 3g - 3 + n \leq 2 $ 时，Teichmüller 空间上的 Weil-Petersson 度量是 Gromov-双曲的，且仅在此条件下成立。当 $ d(S) \geq 3 $ 时，该度量具有更高秩（可拟等距嵌入 $ \mathbb{R}^k $，其中 $ k \geq 2 $），并且在此情况下，$ \mathrm{Teich}(S) $ 上不存在完备、测地线完备且有限体积的 Gromov-双曲度量。

ABSTRACT

Let S be a surface with genus g and n boundary components and let d(S) = 3g-3+n denote the number of curves in any pants decomposition of S. We employ metric properties of the graph of pants decompositions CP(S) prove that the Weil-Petersson metric on Teichmuller space Teich(S) is Gromov-hyperbolic if and only if d(S) <= 2. When d(S) >= 3 the Weil-Petersson metric has higher rank in the sense of Gromov (it admits a quasi-isometric embedding of R^k, k >= 2); when d(S) <= 2 we combine the hyperbolicity of the complex of curves and the relative hyperbolicity of CP(S) prove Gromov-hyperbolicity. We prove moreover that Teich(S) admits no geodesically complete Gromov-hyperbolic metric of finite covolume when d(S) >= 3, and that no complete Riemannian metric of pinched negative curvature exists on Moduli space M(S) when d(S) >= 2.

研究动机与目标

• 确定不同拓扑复杂度曲面上 Teichmüller 空间上 Weil-Petersson 度量的 Gromov-双曲性。
• 研究 Weil-Petersson 度量的秩，定义为该空间中拟平坦子集的最大维数。
• 建立当 $ d(S) \geq 3 $ 时，$ \mathrm{Teich}(S) $ 上不存在完备、测地线完备、Gromov-双曲且有限体积的度量。
• 分析这些结果对模空间 $ \mathcal{M}_{g,n} $ 几何结构的影响，特别是关于曲率被压紧的负曲率性质。
• 澄清 Weil-Petersson 度量与其他度量（如 Teichmüller 度量、Kähler 度量）在曲率与拟等距性质方面的区别。

提出的方法

• 利用裤分解图 $ C_{\mathbf{P}}(S) $ 作为 Weil-Petersson 度量的组合模型。
• 应用曲线复形及其双曲性（基于 Masur 与 Minsky 的工作）来证明当 $ d(S) \leq 2 $ 时的双曲性。
• 在曲线复形中应用有界区域穿透性质，以分析共轨路径并控制 $ C_{\mathbf{P}}(S) $ 中的距离。
• 通过将 $ \mathbb{R}^k $ 拟等距嵌入 $ \mathrm{Teich}(S) $ 来定义并界定 Weil-Petersson 度量的秩。
• 应用 McCarthy-Papadopoulos 的一般性论证，证明当 $ d(S) \geq 3 $ 时，不存在完备、Gromov-双曲且有限体积的度量。
• 利用 Weil-Petersson 度量本身不完备的事实，因此该论证不能直接应用于它，但可推广至其他完备度量（如 Teichmüller 度量和 McMullen 的 Kähler 度量）。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$ \mathrm{Teich}(S) $ 上的 Weil-Petersson 度量是 Gromov-双曲的？
• RQ2 Weil-Petersson 度量的几何秩是多少？它与曲面拓扑有何关系？
• RQ3 当 $ d(S) \geq 3 $ 时，$ \mathrm{Teich}(S) $ 是否能存在完备、测地线完备、Gromov-双曲且有限体积的度量？
• RQ4 当 $ d(S) \geq 2 $ 时，模空间 $ \mathcal{M}_{g,n} $ 是否能存在完备的黎曼度量，其截面曲率为有界负值？
• RQ5 是否存在一种度量，使得 $ \mathcal{M}_{g,n} $ 同时完备且非正曲率？

主要发现

• Weil-Petersson 度量在 $ \mathrm{Teich}(S) $ 上是 Gromov-双曲的，当且仅当 $ d(S) = 3g - 3 + n \leq 2 $，即对于微分同胚于至多两个点的环面或至多五个点的球面的曲面。
• 当 $ d(S) \geq 3 $ 时，Weil-Petersson 度量具有更高秩，可拟等距嵌入 $ \mathbb{R}^k $（$ k \geq 2 $），其秩的下界为 $ d(S)/2 $。
• 当 $ d(S) \geq 3 $ 时，$ \mathrm{Teich}(S) $ 上不存在完备、测地线完备、Gromov-双曲且 $ \mathrm{Mod}(S) $-等变的路径度量，且其体积有限。
• 当 $ d(S) \geq 2 $ 时，模空间 $ \mathcal{M}_{g,n} $ 上不存在完备的黎曼度量，其截面曲率为有界负值。
• 尽管 Weil-Petersson 度量具有负的截面曲率，但当 $ d(S) \geq 3 $ 时，它并非 Gromov-双曲，原因在于存在高阶平坦子集。
• 推测 Weil-Petersson 度量的几何秩为 $ \lfloor (d(S) + 1)/2 \rfloor $，该推测得到曲线复形中层次结构的支持。