[论文解读] Curvature and symmetry of Milnor spheres

Karsten Grove, Wolfgang Ziller|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2000

Geometry and complex manifolds参考文献 30被引用 5

一句话总结

该论文通过 S³-丛上的齐性余维一作用与子丛度量，在十个（共十四种）微分同胚的七维球面（米尔诺球面）上构造了无穷多个非等距的非负截面曲率度量。证明了所有向量丛与球丛在 S⁴ 上都存在完备的非负曲率度量，并构造了无穷多个几乎自由的 SO(3) 作用于微分同胚的七维球面，保持霍普夫纤维化，且具有指定的二面体型各向同性子群。

ABSTRACT

In this paper we explore the geometry and topology of cohomogeneity one manifolds, i.e. manifolds with a group action whose principal orbits are hypersurfaces. We show that the principal group action of every principal SO(3) and SO(4) bundle over S^4 extends to a cohomogeneity one action. As a consequence we prove that every vector bundle and every sphere bundle over S^4 has a complete metric with non-negative curvature. It is well known that 15 of the 27 exotic spheres in dimension 7 can be written as S^3 bundles over S^4 in infinitely many ways, and hence we obtain infinitely many non-negatively curved metrics on these exotic spheres. A further consequence will be that there are infinitely many almost free actions by SO(3) on S^7, i.e. all isotropy groups are finite. These actions preserve the Hopf fibration S^3 -> S^7 -> S^4 but do not extend to the disc D^8. We also construct infinitely many such actions on the 15 exotic 7-spheres mentioned above.

研究动机与目标

• 确定微分同胚七维球面是否具有非负截面曲率的度量。
• 研究切赫-格罗莫尔灵魂定理的逆命题在紧致非负曲率流形上的向量丛与球丛上成立的程度。
• 构造新的几乎自由 SO(3) 作用于微分同胚七维球面，且保持霍普夫纤维化。
• 探索米尔诺球面及其相关丛上是否存在齐性余维一非负曲率度量。
• 分析这些作用的各向同性子群与几何结构，及其与格罗莫尔-梅耶尔球面的关系。

提出的方法

• 利用 S³-丛上 S⁴ 的齐性余维一群作用，构造具有非负截面曲率的不变度量。
• 在 S³-主丛上应用子丛度量，借助 Sp(2) 及其群作用的几何性质。
• 通过同参数叶状结构，将 S⁴ 上的标准 SO(3) 作用上拉至 S⁷ 和微分同胚七维球面，构造 SO(3) 作用。
• 运用表示理论与各向同性子群分析，分类可能的固定点集与轨道类型。
• 利用布里埃斯科恩曲面模型与主丛结构，将微分同胚球面实现为球丛的全空间。
• 分析 Sp(2) 上度量的极限，将格罗莫尔-梅耶尔度量作为退化情形恢复。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在某些微分同胚七维球面，其非负截面曲率度量超出格罗莫尔-梅耶尔球面？
• RQ2 所有向量丛与球丛在 S⁴ 上是否都能配备完备的非负曲率度量？
• RQ3 在同一个微分同胚七维球面上，是否存在无穷多个非等距的非负曲率度量？
• RQ4 SO(3) 是否能几乎自由地作用于微分同胚七维球面，同时保持霍普夫纤维化？其各向同性子群为何？
• RQ5 齐性余维一作用在微分同胚球面上，能在多大程度上产生非负曲率度量？

主要发现

• 十四种微分同胚七维球面中的十种（米尔诺球面）可通过 S³-丛上 S⁴ 的子丛度量构造出非负截面曲率度量。
• 所有 S⁴ 上的向量丛与球丛都存在完备的非负截面曲率度量，且每个全空间上存在无穷多个非等距度量。
• 对每个 n ≥ 1，存在一个在 S⁷ 上几乎自由的 SO(3) 作用，保持霍普夫纤维化，其各向同性子群为 D₁=Z₂, D₂=Z₂×Z₂, Dₙ, Dₙ₊₁, Dₙ₊₂, Dₙ₊₃，且当 n ≥ 4 时，这些作用无法延拓至 D⁸。
• 在任意微分同胚米尔诺球面 Σ⁷ 上，对每一种此类 3-球纤维化，均存在无穷多个不等价的几乎自由 SO(3) 作用，保持该 3-球纤维化。
• 格罗莫尔-梅耶尔度量 M₂,₋₁ 作为通过 Sp(2) 与 S³×S³ 作用构造的 1-参数度量族的极限被恢复，但其与所构造度量不同：前者在某个开集上具有正曲率，而后者存在 2-平面曲率为零。
• 每个米尔诺球面（包括标准球面）以及同伦 RP⁵ 上的非负曲率度量空间，很可能具有无穷多个连通分支，这由存在无穷多个非等距度量所暗示。