[论文解读] Curvature estimates for a class of Hessian type equations

Jianchun Chu, Heming Jiao|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2020

Geometry and complex manifolds参考文献 24被引用 6

一句话总结

本文建立了关于欧氏空间中超曲面上第二基本形式的首道牛顿变换特征值的Hessian型方程的曲率估计。通过将最大值原理应用于一个对数曲率量，并利用$(\eta,k)$-凸性作为自然的椭圆性条件，作者在对右边函数$f$施加自然结构假设的前提下，推导出解的统一$C^2$有界性，从而将先前结果推广至强凸性之外，并推广了经典的曲率指定问题。

ABSTRACT

In this paper, we establish the curvature estimates for a class of Hessian type equations. Some applications are also discussed.

研究动机与目标

• 建立关于欧氏空间$\mathbb{R}^{n+1}$中超曲面上第二基本形式牛顿变换的Hessian型方程的统一曲率估计。
• 通过将主曲率$\kappa_i$替换为张量$\eta = Hg - h$的特征值$\lambda_i = H - \kappa_i$，推广经典曲率指定问题。
• 通过引入$(\eta,k)$-凸性条件作为自然的椭圆性要求，消除$C^2$估计中对强凸性假设的需求。
• 在右边函数$f(X,\nu)$满足几何与结构条件的前提下，证明$C^{3,\alpha}$强凸解的存在性与唯一性。

提出的方法

• 引入张量$\eta = Hg - h$，其特征值为$\lambda_i = H - \kappa_i = \sum_{j \neq i} \kappa_j$，并研究$k$-Hessian方程$\sigma_k(\lambda(\eta)) = f(X,\nu)$。
• 定义$(\eta,k)$-凸性为$\lambda(\eta) \in \Gamma_k$，即G 5ding锥，以确保方程的椭圆性。
• 对一个精心构造的量$Q = \log \varphi_{\xi\xi} + \frac{a}{2}|\nabla\varphi|^2 + \frac{A}{2}|x|^2 + \beta\log(-\varphi)$应用最大值原理，其中涉及支撑函数$\varphi$的Hessian矩阵。
• 在最大值点处使用坐标归一化，以简化Hessian与一阶导数项，从而通过Hessian算子的结构比较二阶项。
• 导出一个涉及$F^{ii} = \partial F/\partial \lambda_i$、$G^{1i,i1}$与曲率项的微分不等式，并通过大常数$A$、$\beta$与小参数$a$控制低阶项。
• 结合所得的逐点估计与最大值原理，以及几何约束（如$f$在球面$|X|=r_1,r_2$上的行为），获得全局曲率有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假设强凸性的前提下，为涉及牛顿变换$\eta$的Hessian型方程建立曲率估计？
• RQ2 方程$\sigma_k(\lambda(\eta)) = f(X,\nu)$的自然椭圆性条件是什么？
• RQ3 对$f$的结构假设(1.5)与(1.6)如何确保在环形区域中解的存在性与唯一性？
• RQ4 最大值原理技术能否被调整以处理曲率方程中$f$对法向量$\nu$的依赖性？
• RQ5 $(\eta,n)$-凸性条件在推广Monge-Ampère与高斯曲率方程中起什么作用？

主要发现

• 本文建立了闭合、强凸的$(\eta,k)$-凸超曲面解$\sigma_k(\lambda(\eta)) = f(X,\nu)$的统一$C^2$有界性，该有界性仅依赖于$n$、$k$、$\|M\|_{C^1}$、$\inf f$与$\|f\|_{C^2}$。
• 该曲率估计无需要求解为$(k+1)$-凸或强凸，因此推广了Guan-Ren-Wang的结果。
• 在$f$满足条件(1.5)与(1.6)的环形区域$\{r_1 \leq |X| \leq r_2\}$中，证明了$C^{3,\alpha}$强凸解的存在性与唯一性。
• 证明通过在涉及支撑函数Hessian的对数曲率量上使用最大值原理论证，通过精细平衡常数以控制误差项。
• 该方法得到的$C^2$估计足以通过Evans-Krylov理论获得更高阶正则性。
• 该结果将经典曲率指定方程理论推广至通过牛顿变换$\eta$定义的更广泛曲率函数类。