[论文解读] Curvature explosion in quotients and applications

Alexander Lytchak, Gudlaugur Thorbergsson|ArXiv.org|Sep 17, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文证明了在黎曼流形上，变分完备的等距群作用所产生的商空间是具有良好性质的黎曼轨道簇，且商空间中的曲率爆炸程度由稳定子表示的极性所控制。关键结果是：当且仅当法空间上的稳定子作用为极性时，曲率在奇异层附近保持有界，从而确保商空间为无曲率爆炸的光滑黎曼轨道簇。

ABSTRACT

We prove that the quotient space of a variationally complete group action is a good Riemannian orbifold. The result is generalized to singular Riemannian foliations without horizontal conjugate points.

研究动机与目标

• 刻画黎曼流形在闭等距群作用下的商空间 $ M/K $ 成为无曲率爆炸的黎曼轨道簇的条件。
• 阐明变分完备性的几何意义，即其与商空间曲率及共轭点结构的关系。
• 将关于曲率行为与轨道簇结构的结果，从群作用推广至无水平共轭点的奇异黎曼 foliation。
• 为 Bott 与 Samelson 所述‘变分完备性对应于商空间中无共轭点’这一观点提供精确的几何解释。
• 在奇异黎曼 foliation 的背景下，建立交叉计数函数的连续性，条件是满足无穷小极性。

提出的方法

• 分析商空间 $ B = M/K $ 的正则部分中截面曲率的行为，重点关注当 $ z \to y \in B_{\text{sing}} $ 时 $ \bar{\kappa}(z) $ 的极限。
• 通过定理 1.1，利用曲率有界性与法空间 $ H_x $ 上稳定子表示为极性的等价性。
• 应用缩放度量在管状邻域中的收敛性论证，将 $ M $ 中的水平共轭点与商空间中的共轭点联系起来。
• 借助奇异黎曼 foliation 理论及无穷小极性的概念，将结果推广至群作用之外的情形。
• 运用 $ \mathcal{F} $-Jacobi 场（水平与垂直）的指标理论，分析共轭点并证明交叉数的连续性。
• 利用如下事实：无共轭点的良态黎曼轨道簇的万有轨道簇覆盖是一个无共轭点的单连通流形，从而在非负曲率情形下导致平坦性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在闭等距群作用下，黎曼流形的商空间 $ M/K $ 何时为黎曼轨道簇？
• RQ2 当趋近于奇异层时，商空间正则部分中的截面曲率在何种条件下保持有界？
• RQ3 群作用的变分完备性与商空间中无共轭点之间有何关系？
• RQ4 奇异黎曼 foliation 的无穷小极性与无水平共轭点之间有何关系？
• RQ5 在奇异黎曼 foliation 的背景下，沿测地线计数垂直指标的交叉计数函数是否连续？

主要发现

• 商空间 $ M/K $ 是良态黎曼轨道簇当且仅当法空间上的稳定子表示为极性，这等价于在奇异层附近正则部分的曲率保持有界。
• 商空间中的曲率爆炸至多与到奇异层距离的平方成反比：在紧子集上，存在 $ C > 0 $，使得 $ \bar{\kappa}(z) \leq C / d^2(z, B_{\text{sing}}) $。
• 作用的变分完备性等价于商空间 $ B = M/K $ 是无共轭点的良态黎曼轨道簇。
• 在非负曲率情形下，$ B $ 的万有轨道簇覆盖是平坦的，且该作用为超极化。
• 交叉计数函数 $ c(\gamma) = \mathrm{ind}_W(\gamma) $ 连续当且仅当 foliation 在每一点均为无穷小极性。
• 在某邻域内无水平共轭点，当且仅当该点处 foliation 为无穷小极性。