[论文解读] Curvature of a class of indefinite globally framed $f$-manifolds

Letizia Brunetti, Anna Maria Pastore|ArXiv.org|Mar 4, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用 15

一句话总结

本文研究了不定全局框架 $f$-流形的曲率性质，特别关注不定几乎 $\mathcal{S}$-流形和 $\mathcal{S}$-空间形式。推导了黎曼曲率张量关于 $\varphi$-截面曲率的显式表达式，并证明当类空与类时特征向量场数量相等时，该流形成为具有零 $\varphi$-截面曲率的不定 $\mathcal{S}$-空间形式，其典型例子为具有混合符号特征场的4维洛伦兹流形。

ABSTRACT

We present a compared analysis of some properties of indefinite almost $\mathcal{S}$-manifolds and indefinite $\mathcal{S}$-manifolds. We give some characterizations in terms of the Levi-Civita connection and of the characteristic vector fields. We study the sectional and $ϕ$-sectional curvature of indefinite almost $\mathcal{S}$-manifolds and state an expression of the curvature tensor field for the indefinite $\mathcal{S}$-space forms. We analyse the sectional curvature of indefinite $\mathcal{S}$-manifold in which the number of the spacelike characteristic vector fields is equal to that of the timelike characteristic vector fields. Some examples are also described.

研究动机与目标

• 分析具有不定度量的不定几乎 $\mathcal{S}$-流形和 $\mathcal{S}$-流形的几何与曲率性质。
• 刻画 Levi-Civita 联络及其在这些结构中特征向量场的作用。
• 推导不定 $\mathcal{S}$-空间形式的黎曼曲率张量的显式表达式，该表达式以 $\varphi$-截面曲率表示。
• 研究当类空与类时特征向量场数量平衡时，不定 $\mathcal{S}$-流形中的截面曲率。
• 构造并分析具有不同因果类型的特征向量场的6维与4维不定 $\mathcal{S}$-流形的显式例子。

提出的方法

• 利用 Levi-Civita 联络，并应用 $f$-结构 $\varphi$、度量 $g$ 与特征向量场 $\xi_\alpha$ 之间的兼容性条件。
• 应用基本恒等式 $\varphi^3 + \varphi = 0$ 将切丛分解为 $\operatorname{Im}\varphi$ 与 $\ker\varphi$，其中 $\varphi$ 在 $\operatorname{Im}\varphi$ 上诱导一个复结构。
• 使用曲率恒等式 $g(R(\varphi X,\varphi Y,\varphi Z),\varphi W) = g(R(X,Y,Z),W)$ 来关联 $\varphi$-作用下的曲率。
• 推导出以张量 $H_p(X,Y)$ 表示的 $\varphi$-截面曲率公式，该张量依赖于 $\mathfrak{D}$ 中向量上的度量与 $\varphi$-作用。
• 利用从度量计算出的克里斯托费尔符号评估曲率分量，特别是 $R(X,\varphi X,X)$，以确定 $H(X)$。
• 证明不定 $\mathcal{S}$-空间形式的黎曼曲率张量完全由 $\varphi$-截面曲率 $c$ 决定，其显式公式见 (14)。

实验结果

研究问题

• RQ1 Levi-Civita 联络与特征向量场如何影响不定几乎 $\mathcal{S}$-流形的曲率结构？
• RQ2 $\varphi$-截面曲率以何种方式决定不定 $\mathcal{S}$-流形中的完整截面曲率？
• RQ3 具有常数 $\varphi$-截面曲率的不定 $\mathcal{S}$-空间形式的黎曼曲率张量的显式形式是什么？
• RQ4 在什么条件下，具有平衡类空与类时特征向量场的不定 $\mathcal{S}$-流形会成为 $\mathcal{S}$-空间形式且 $\varphi$-截面曲率为零？
• RQ5 能否构造出具有混合因果类型的特征向量场的不定 $\mathcal{S}$-流形的显式例子？其曲率性质如何？

主要发现

• $\varphi$-截面曲率完全决定了不定几乎 $\mathcal{S}$-流形中的截面曲率。
• 推导出不定 $\mathcal{S}$-空间形式的黎曼曲率张量的显式公式，表明其仅依赖于 $\varphi$-截面曲率 $c$ 与度量结构。
• 在具有一个类空与一个类时特征向量场（$\varepsilon_1 = 1$, $\varepsilon_2 = -1$）的4维洛伦兹例子中，$\varphi$-截面曲率 $c$ 为零。
• 4维例子的曲率张量完全由公式 (14) 且 $c=0$ 确定，所得张量非零，表明在 $\ker\varphi$ 方向上存在非平凡曲率。
• 张量 $Q$ 一般不为零，如 $Q(\xi_\alpha, Y; \xi_\beta, W) = -\varepsilon_\alpha\varepsilon_\beta g(W, \varphi Y)$ 所示，表明特征场对曲率有非平凡贡献。
• 对向量 $X = \partial_x - y\xi_1 - y\xi_2$ 计算 $H(X)$ 得 $H(X) = 0$，确认 $\varphi$-截面曲率为零，因此该流形是具有 $c=0$ 的不定 $\mathcal{S}$-空间形式。