[论文解读] Curvature of almost Hermitian manifolds and applications

Chengjie Yu|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文引入了一种局部拟全纯标架，以推导几乎殆凯勒流形的曲率公式，其形式与殆凯勒流形的公式类似。利用该公式，将吴与郑的结果推广至几乎殆凯勒几何，证明在紧致几乎复流形的乘积上，若全纯双截面曲率为非正，则度量可分解为乘积度量与全纯(2,0)-形式分量之和，且给出了此类度量空间的精确余维数公式。

ABSTRACT

In this paper, by introducing a notion of local quasi holomorphic frame, we obtain a curvature formula for almost Hermitian manifolds which is similar to that of Hermitian manifolds. Moreover, as applications of the curvature formula, we extend a result of H.S. Wu and a result of F. Zheng to almost Hermitian manifolds.

研究动机与目标

• 使用一种新的局部拟全纯标架概念，为几乎殆凯勒流形建立曲率公式。
• 将关于全纯双截面曲率的已知结果从殆凯勒几何推广至几乎殆凯勒几何。
• 对紧致几乎复流形乘积上的几乎殆凯勒度量进行分类，其全纯双截面曲率为非正。
• 将郑与作者关于曲率退化的度量结果推广至几乎复几何设定。
• 确定此类度量空间在乘积空间中的余维数。

提出的方法

• 引入一种与几乎殆凯勒流形上联络的典范联络相适应的局部拟全纯标架。
• 利用该标架推导出典范联络的曲率公式，将曲率张量表示为度量的二阶导数与联络项的组合。
• 将曲率公式应用于证明在度量相加下曲率形式的次可加性不等式。
• 结合曲率公式与全纯形式分解，对乘积流形上具有非正全纯双截面曲率的度量进行分类。
• 将乘积上全纯(2,0)-形式的分解表示为各因子上全纯(1,0)-形式的楔积。
• 通过分析此类度量空间相对于各独立度量空间乘积的相对关系，建立余维数公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否推导出一种与经典殆凯勒流形曲率公式相类似的几乎殆凯勒流形曲率公式？
• RQ2 在几乎殆凯勒设定下，全纯双截面曲率在度量相加下是否保持次可加性？
• RQ3 在紧致几乎复流形的乘积上，具有非正全纯双截面曲率的几乎殆凯勒度量具有何种结构？
• RQ4 各因子上全纯(1,0)-形式的存在如何限制此类度量的形式？
• RQ5 在乘积流形上，非正曲率度量空间相对于各独立度量空间乘积的实余维数是多少？

主要发现

• 通过局部拟全纯标架，建立了几乎殆凯勒流形上典范联络的曲率公式，推广了殆凯勒情形。
• 该曲率公式表明，若干度量之和的全纯双截面曲率上界不超过各独立曲率之和。
• 任何在紧致几乎复流形乘积上具有非正全纯双截面曲率的几乎殆凯勒度量，均可分解为乘积度量与来自全纯(2,0)-形式的闭(1,1)-形式之和。
• 当两个因子均存在非平凡全纯(1,0)-形式时，此类度量空间在 $ M \times N $ 的度量乘积空间中的实余维数恰好为 $ 2\dim H^{1,0}(M) \cdot \dim H^{1,0}(N) $。
• 若其中一个因子不存在非平凡全纯(1,0)-形式，则任何此类度量必为乘积度量。
• 该结果将郑对复乘积流形上度量的分类结果推广至几乎复设定。