[论文解读] Curvature of higher direct image sheaves and its application on negative-curvature criterion for the Weil-Petersson metric

Xu Wang|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文在复几何中建立了高阶直接像层的曲率正性准则，证明了在凯勒全空间 𝒳 上，若向量丛 E 的 q-半正性成立，则 K𝒳/B ⊗ E 的第 q 个直接像为格里菲斯-半正性。作为关键应用，该文推导出一族典范极化或卡拉比-丘流形的基流形上韦伊-彼得森度量的负曲率准则。

ABSTRACT

We shall show that $q$-semipositivity of the vector bundle $E$ over a Kähler total space $\mathcal X$ implies the Griffiths-semipositivity of the $q$-th direct image of $\mathcal O(K_{\mathcal X/B}\otimes E)$. As an application, we shall give a negative-curvature criterion for the generalized Weil-Petersson metric on the base manifold.

研究动机与目标

• 在复流形族中建立高阶直接像层的曲率正性准则。
• 通过向量丛 E 的 q-半正性，将已知的调和丛曲率结果推广至更高上同调群。
• 将曲率结果应用于推导出一族典范极化或卡拉比-丘流形的基流形上韦伊-彼得森度量的负曲率准则。
• 提供一个几何条件，使得韦伊-彼得森度量为负曲率，基于直接像丛的曲率公式。
• 通过 ∂̄-方程与调和理论，将高阶直接像的曲率正性推广至先前关于韦伊-彼得森度量的结果。

提出的方法

• 利用纽兰德-尼伦伯格定理与科达尔-斯宾塞定理，构造调和形式层 H^{n,q}(E_t) 上的全纯向量丛结构。
• 在直接像丛 H^{n,q} 上应用陈联络与曲率公式，通过 ∂̄-方程与调和投影计算曲率算子 Θ_{j k}。
• 引入全空间上关于凯勒形式 ω 的曲率 Θ(E,h) 的 q-半正性概念，定义为与 ω^q/q! 的楔积。
• 利用 ∂̄-诺伊曼问题与 L^2 估计，推导出 H^{n,q} 曲率的广义 ∂̄-方程，将曲率与调和代表元联系起来。
• 将曲率公式应用于相对 canonical 簇 K𝒳/B 的情形，证明若 Θ(E,h) 为 q-半正性，则 H^{n,q} 为格里菲斯-半正性。
• 利用科达尔-斯宾塞映射与映射 v ↦ κ(v) 的全纯性，证明在曲率条件下，韦伊-彼得森度量的对数范数为拟凸函数（或恒为 −∞），从而推出度量的负曲率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在凯勒全空间 𝒳 上的全纯向量丛 E 的曲率满足何种条件时，K𝒳/B ⊗ E 的第 q 个直接像为格里菲斯-半正性？
• RQ2 全空间 𝒳 上关于凯勒形式 ω 的 Θ(E,h) 的 q-半正性与直接像丛 H^{n,q} 的曲率之间有何关系？
• RQ3 能否利用高阶直接像的曲率正性来建立典范极化或卡拉比-丘流形模空间上韦伊-彼得森度量的负曲率？
• RQ4 ∂̄-方程与调和投影在纤维复流形上 H^{n,q} 丛的曲率计算中起何种作用？
• RQ5 在何种情况下，H^{n,q} 的格里菲斯-半正性可推出 Nakano-半正性？这又如何影响韦伊-彼得森度量的几何性质？

主要发现

• 若全空间 𝒳 上曲率 Θ(E,h) 关于凯勒形式 ω 为 q-半正性，则直接像丛 H^{n,q} 为格里菲斯-半正性。
• 在附加假设 H^{n,q}_t = ker(∂^{E_t}) ∩ ker(∂^{E_t})^* 下，丛 H^{n,q} 为 Nakano-半正性。
• 若相对 canonical 簇的曲率满足 q-半正性条件，则基流形 B 上的韦伊-彼得森度量为负曲率。
• 任一全纯向量场 v 在 B 上的对数范数为拟凸函数（或恒为 −∞），这蕴含韦伊-彼得森度量的负曲率。
• 科达尔-斯宾塞映射 v ↦ κ(v) 定义了一个从 T_B 到 H^{n,n-1} 对偶的全纯丛映射，确保度量的曲率性质在全纯族下保持不变。
• 韦伊-彼得森范数的上半连续正则化是局部有界的，这支持了 log||v||_WP 的拟凸性，从而支持度量的负曲率。