[论文解读] Curvature of vector bundles and subharmonicity of Bergman kernels

Bo Berndtsson|ArXiv.org|May 23, 2005

Geometry and complex manifolds参考文献 8被引用 3

一句话总结

该论文通过证明相应的无限秩全纯截面向量丛在Nakano意义下具有严格正曲率的Hermitian度量，确立了与一类加权$L^2$-空间全纯函数相关的Bergman核是严格强拟凸的。该结果可推广至全纯向量丛：若一个有限秩全纯向量丛$V$在Hartshorne意义下是ample的，则对所有$m \geq 0$，$S^m(V) \bigotimes \det V$都具有严格正Nakano曲率的Hermitian度量。该结果推广了早期关于Bergman核次调和性的结果，并提供了一个新的ample性曲率判别准则。

ABSTRACT

In a previous paper, \cite{Berndtsson}, we have studied a property of subharmonic dependence on a parameter of Bergman kernels for a family of weighted $L^2$-spaces of holomorphic functions. Here we prove a result on the curvature of a vector bundle defined by this family of $L^2$-spaces itself, which has the earlier results on Bergman kernels as a corollary. Applying the same arguments to spaces of holomorphic sections to line bundles over a locally trivial fibration we also prove that if a holomorphic vector bundle, $V$, over a complex manifold is ample in the sense of Hartshorne, then $V\gr\det V$ has an Hermitian metric with curvature strictly positive in the sense of Nakano.

研究动机与目标

• 建立关于加权空间族上全纯$L^2$-截面向量丛的严格Nakano正曲率。
• 将Bergman核的次调和性作为曲率结果的推论导出。
• 将曲率正性结果推广至全纯纤维丛及射影丛上的线丛。
• 证明若全纯向量丛$V$在Hartshorne意义下是ample的，则$S^m(V) \otimes \det V$具有严格正Nakano曲率的Hermitian度量。

提出的方法

• 使用Griffiths的子丛曲率公式，将子丛的曲率与全空间丛及第二基本形式联系起来。
• 应用Hörmander的$\bar{\partial}$-方程$L^2$估计，以控制$L^2$-截面丛的第二基本形式。
• 在局部平凡纤维丛的纤维上，构造全纯截面$ L \otimes K_{X_t} $的丛$E$，以定义一个规范的$L^2$-度量。
• 在紧致流形上的线丛上应用Kodaira-Nakano-Hörmander估计，以控制纤维丛设定下的曲率。
• 分析射影丛上线丛$O_{\mathbb{P}(V)}(l)$的Chern联络与曲率，以将$E(l)$的曲率与$V$的几何联系起来。
• 利用$E(r) = \det V$与$E(r+1) = V \otimes \det V$的事实，识别出相关丛并应用曲率结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 Bergman核函数$K_t(z,z)$在参数$t$上是否严格强拟凸？
• RQ2 在加权空间族上，全纯$L^2$-截面的向量丛是否具有Nakano意义下严格正曲率的Hermitian度量？
• RQ3 对于满足局部平凡性条件的正线丛$L$的局部平凡全纯纤维丛，能否建立$E = \Gamma(X_t, L|X_t \otimes K_{X_t})$的曲率正性？
• RQ4 若全纯向量丛$V$在Hartshorne意义下是ample的，则$S^m(V) \otimes \det V$是否具有严格正Nakano曲率的Hermitian度量？

主要发现

• 在加权空间族上，全纯$L^2$-截面的向量丛$E$具有Nakano意义下严格正曲率的Hermitian度量。
• 作为推论，Bergman核函数$K_t(z,z)$在参数$t$上是严格强拟凸的。
• 对于满足局部平凡性条件的正线丛$L$的局部平凡全纯纤维丛，全纯截面$ L \otimes K_{X_t} $的丛$E$具有严格正Nakano曲率。
• 若全纯向量丛$V$在Hartshorne意义下是ample的，则对所有$m \geq 0$，$S^m(V) \otimes \det V$都具有严格正Nakano曲率的Hermitian度量。
• 射影丛上全纯截面$O_{\mathbb{P}(V)}(r) \otimes K_{\mathbb{P}(V^*_t)}$的丛$E(r)$同构于$\det V$，而$E(r+1)$同构于$V \otimes \det V$。