[论文解读] Curvature Properties of Two Naveira Classes of Riemannian Product Manifolds

Dobrinka Gribacheva|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文研究了黎曼积流形在 Naveira 类 $\overline{\mathcal{W}}_3$ 和 $\overline{\mathcal{W}}_6$ 中的曲率性质，重点探讨黎曼曲率张量成为黎曼 $P$-张量的条件。研究结果表明，对于这两个类中满足闭 1-形式 $\theta$ 的情形，曲率张量 $R$ 是黎曼 $P$-张量当且仅当其等于一个典范张量 $K$，并通过协变导数 $\nabla P$ 及相关张量恒等式，推导出明确的代数刻画。

ABSTRACT

The main aim of the present work is to obtain some curvature properties of the manifolds from two classes of Riemannian product manifolds. These classes are two basic classes from Naveira classification of Riemannian almost product manifolds.

研究动机与目标

• 研究黎曼几乎积流形的 $\overline{\mathcal{W}}_3$ 和 $\overline{\mathcal{W}}_6$ 类中曲率张量的性质。
• 确定黎曼曲率张量 $R$ 在这些类中成为黎曼 $P$-张量的必要且充分条件。
• 分析与 $\nabla P$ 相关的 1-形式 $\theta$ 及其闭性在决定曲率结构中的作用。
• 基于 $\theta$、$\Omega$ 和对称张量 $A$ 或 $A^\prime$，建立曲率张量的代数刻画。

提出的方法

• 通过 $\nabla P$ 对黎曼几乎积流形进行 Naveira 分类，推导曲率恒等式。
• 引入张量 $K$ 作为由 $K = R + \frac{1}{4n}\{ (\psi_1 - \psi_2)(A) - \frac{\theta(\Omega)}{2n}(\pi_1 - \pi_2) \}$ 定义的典范黎曼 $P$-张量，其中 $\overline{\mathcal{W}}_3$ 类适用此式，$\overline{\mathcal{W}}_6$ 类则有类似形式。
• 使用条件 $F(x,y,z) = \frac{1}{2n}\{ [g(x,y)+g(x,Py)]\theta(z) + [g(x,z)+g(x,Pz)]\theta(y) \}$ 来刻画 $\overline{\mathcal{W}}_3$ 流形。
• 应用涉及 $\psi_1, \psi_2, \pi_1, \pi_2$ 的张量恒等式，将曲率对称性与 $P$-结构联系起来。
• 分析 $K$ 的 Ricci 张量和数量曲率，推导出以 $\theta$、$\Omega$ 以及 $A$ 或 $A^\prime$ 表示的显式公式。
• 建立在 $\theta$ 闭的条件下，$R$ 是黎曼 $P$-张量当且仅当 $R = K$ 的等价关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\theta$ 闭的 $\overline{\mathcal{W}}_3$ 流形中，黎曼曲率张量 $R$ 成为黎曼 $P$-张量的条件是什么？
• RQ2 当 $\theta$ 闭时，$\overline{\mathcal{W}}_3$ 流形中张量 $K$ 与 $R$ 的关系如何？
• RQ3 在 $\theta$ 闭的 $\overline{\mathcal{W}}_6$ 流形中，$R$ 作为黎曼 $P$-张量的代数刻画是什么？
• RQ4 在 $\overline{\mathcal{W}}_6$ 流形中，$K$ 的 Ricci 张量和数量曲率如何依赖于 $\theta$、$\Omega$ 和 $A^\prime$？
• RQ5 当 $R = K$ 时，4 维 $\overline{\mathcal{W}}_3$ 和 $\overline{\mathcal{W}}_6$ 流形中 $R$ 的显式形式是什么？

主要发现

• 对于具有闭 1-形式 $\theta$ 的 $\overline{\mathcal{W}}_3$ 流形，$R$ 是黎曼 $P$-张量当且仅当 $A(y,z) = -\frac{\theta(\Omega)}{4n}\{ g(y,z) + g(y,Pz) \}$，其中 $A$ 由 $\nabla\theta$ 导出。
• 在 $\overline{\mathcal{W}}_3$ 流形中，若 $\theta$ 闭，则 $R$ 是黎曼 $P$-张量当且仅当 $R = K$，其中 $K$ 是通过 $A$ 和 $\theta(\Omega)$ 定义的典范张量。
• 在 4 维 $\overline{\mathcal{W}}_3$ 流形中，若 $\theta$ 闭，则曲率张量 $R$ 的形式为 $R = \frac{1}{8}\{ \tau(\pi_1 + \pi_2) + \tau^*\pi_3 \}$。
• 在 $\overline{\mathcal{W}}_6$ 流形中，若 $\theta$ 闭，则 $R$ 是黎曼 $P$-张量当且仅当 $A^\prime(y,z) = \frac{\theta(\Omega)}{4n}\{ g(y,z) - g(y,Pz) \}$，其中 $A^\prime$ 是由 $\nabla\theta$ 导出的张量。
• 在 $\overline{\mathcal{W}}_6$ 流形中，若 $\theta$ 闭，则 $R$ 是黎曼 $P$-张量当且仅当 $R = K$，其中 $K$ 的定义与 $\overline{\mathcal{W}}_3$ 情况类似。
• 在 4 维 $\overline{\mathcal{W}}_6$ 流形中，若 $\theta$ 闭，则曲率张量 $R$ 同样具有形式 $R = \frac{1}{8}\{ \tau(\pi_1 + \pi_2) + \tau^*\pi_3 \}$，与 $\overline{\mathcal{W}}_3$ 情况一致。