[论文解读] Curvature semipositivity of relative pluricanonical systems

Hajime Tsuji|ArXiv.org|Mar 25, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 17被引用 11

一句话总结

该论文建立了在具有仅 canonical 奇点的平坦射影族中，相对全Canonical线丛 $mK_{X/S}$ 上 Narashimhan-Simha 奇异 Hermitian 度量的曲率半正性。证明了曲率电流可沿奇异纤维扩展为闭正电流，从而表明直接像层 $f_*\mathcal{O}_X(mK_{X/S})$ 在基流形上携带具有 Nakano 半正曲率的连续 Hermitian 度量。

ABSTRACT

We prove semipositivity of the curvature of the Narashimhan-Simha metric on an arbitrary flat projective family of varieties with only canonical singularities. This also implies that the direct image of pluricanonical systems have a natural continuous hermitian strucutre with semipositive curvature curvature current in the sense of Nakano. This is an improvement of the author's preprint ``Refined semipositivity and moduli of canonical models (2005)''.

研究动机与目标

• 在具有 canonical 奇点的族中，建立相对全Canonical丛上 Narashimhan-Simha 度量的曲率半正性。
• 将光滑族中的半正性结果推广至具有奇异纤维的族，特别是具有 canonical 奇点的族。
• 证明直接像层 $f_*\mathcal{O}_X(mK_{X/S})$ 在基上携带连续 Hermitian 结构，且其曲率电流在 Nakano 意义下为半正。
• 为具有半正曲率的相对 canonical 丛构造一个典范的解析 Zariski 分解 (AZD)。
• 证明曲率正性不仅在竖直方向（纤维内）成立，也在水平方向（沿基）成立

提出的方法

• 在光滑纤维集 $X^\circ = f^{-1}(S^\circ)$ 上，利用全纯截面的 $L^2$-范数构造 $mK_{X/S}$ 上的 Narashimhan-Simha 度量 $h_m$。
• 应用奇异 Hermitian 度量与 Lelong 数的理论，分析曲率电流 $-dd^c \log h_m$。
• 使用解析 Zariski 分解 (AZD) 构造，在 $K_{X/S}$ 上定义一个具有半正曲率的典范奇异 Hermitian 度量 $h$。
• 通过光滑度量的逼近过程并应用引理 5.6（来自 [B-T]），将曲率电流扩展至奇异纤维。
• 应用 Maitani-Yamaguchi 与 Berndtsson 关于 $L^2$-度量变化的定理，证明在基 $S^\circ$ 上曲率的半正性。
• 通过在 $h^{m-1}$ 上对截面进行积分，定义 $f_*\mathcal{O}_X(mK_{X/S})$ 上的诱导度量 $h_{F_m}$，确保其连续性与半正性

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在具有 canonical 奇点的族中，证明 Narashimhan-Simha 度量在 $mK_{X/S}$ 上的曲率在竖直与水平方向均为半正？
• RQ2 Narashimhan-Simha 度量的曲率电流是否可沿奇异纤维扩展为闭正电流？
• RQ3 能否为具有半正曲率的相对 canonical 丛构造一个典范的解析 Zariski 分解 (AZD)？
• RQ4 $f_*\mathcal{O}_X(mK_{X/S})$ 的直接像层是否在基上携带具有 Nakano 半正曲率的连续 Hermitian 度量？
• RQ5 该半正性结果如何在奇异族的背景下改进 Kawamata 的代数半正性定理？

主要发现

• Narashimhan-Simha 度量 $h_m$ 在 $mK_{X/S}$ 上的曲率电流 $-dd^c \log h_m$ 在 $X^\circ$ 上为半正，并可沿 $X \setminus X^\circ$ 扩展为闭正电流。
• 度量 $h_m$ 可扩展为在整个族 $X$ 上的 $mK_{X/S}$ 上的奇异 Hermitian 度量，其曲率在电流意义下为半正。
• 在 $S^\circ$ 上存在一个 $K_{X/S}$ 上的典范 AZD $h$，使得其曲率电流 $\Theta_h$ 在 $X$ 上为半正。
• 直接像层 $F_m = f_*\mathcal{O}_X(mK_{X/S})$ 携带一个由 $h_{F_m}(\sigma,\sigma')_s = (\sqrt{-1})^{n^2} \int_{X_s} \sigma \wedge \bar\sigma' \cdot h^{m-1}$ 定义的连续 Hermitian 度量 $h_{F_m}$，其在 $S^\circ$ 上具有 Nakano 半正曲率。
• 由于 $h^{m-1}$ 在纤维上有界，度量 $h_{F_m}$ 在 $S^\circ$ 上连续，且其曲率半正性由底层度量 $h$ 的半正性所保证。
• 通过使用 $h_m^{1/m}$ 的替代构造，可得到具有代数奇点的度量，提示未来应用中可能具有更优的正则性。